Kuželosečka

druh rovinné křivky

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s rotační kuželovou plochou, přičemž rovina neprochází jejím vrcholem.

Druhy kuželoseček
Druhy kuželoseček

Typy kuželoseček

editovat

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice.

Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.

 
(A: parabola, B: elipsa a kružnice, C: hyperbola)

Degenerované kuželosečky

editovat

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky.

Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

Algebraické vyjádření

editovat

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

 ,

kde koeficienty   jsou reálná čísla, přičemž  . Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v   a  .

Invarianty

editovat

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty.

Uvedená rovnice má tři invarianty:

  • determinant kuželosečky
 
  • determinant kvadratických členů
 
  • třetím invarientem je stopa malé matice
 

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty  , avšak uvedené invarianty se nezmění.

Klasifikace kuželoseček podle invariantů

editovat

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny.

Je-li  , pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro   jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s   jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro   se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček  
středové kuželosečky
 
nestředové kuželosečky
   
 
vlastní kuželosečky
 
reálná elipsa
hyperbola parabola
 
imaginární elipsa
 
nevlastní kuželosečky
dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem dvě reálné různoběžky  
dvě různé reálné rovnoběžky
 
dvě splývající rovnoběžky
 
dvě imaginární rovnoběžky

Středové rovnice kuželoseček

editovat
  • Kružnice:  
  • Elipsa:  
  • Parabola:  
  • Hyperbola:  

Výskyt a použití kuželoseček

editovat

Kuželosečky mají praktické uplatnění v architektuře, optice, radiotechnice, astronomii a dalších oborech. Vlnění vycházející libovolným směrem z jednoho ohniska elipsy (nebo rotační eliptické plochy) je odráženo do druhého ohniska; této skutečnosti se využívá při výrobě laserů[1] a při vytváření tak zvaných šeptajících galerií, kdy slova šeptaná v jednom ohnisku klenby nebo zakřivené stěny jsou dobře slyšitelná pouze ve vzdáleném druhém ohnisku. Vlnění vycházející z ohniska paraboly je odráženo jako svazek rovnoběžných paprsků stejným směrem, čehož se využívá při výrobě světlometů, dalekohledů, parabolických antén a radioteleskopů. Pomocí parabolického zrcadla se zapaluje Olympijský oheň. Opominutí vlastností kuželoseček může vést k požárům, zraněním nebo poškozování věcí.[2]

Řešením nejjednodušší úlohy nebeské mechaniky – pohybu hmotného bodu v gravitačním poli centrálního tělesa – jsou kuželosečky. V prvním přiblížení lze pohyb planet, asteroidů, komet a meziplanetárních sond okolo Slunce, stejně jako pohyb přirozených i umělých satelitů okolo planet popsat jako pohyb lehčího objektu po kuželosečce okolo hmotnějšího objektu, viz Keplerovy zákony.

Reference

editovat
  1. REICHL, Jaroslav; VŠETIČKA, Martin. Lasery využívající pevné látky [online]. Dostupné online. 
  2. Londýnský parabolický mrakodrap ničí auta, roztavil jaguára či dodávku [online]. MAFRA a.s., 2013-09-03. Dostupné online. 

Literatura

editovat
  • Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 112-113

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat