Ultrafiltr

Ultrafiltr je matematický pojem z oboru teorie množin.

Definice

Je-li $X\,\!$ množina a $\mathbb {P} (X)\,\!$ její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina $F\subseteq \mathbb {P} (X)\,\!$ je ultrafiltr, pokud platí:

$F\,\!$ neobsahuje prázdnou množinu
$A,B\in F\implies A\cap B\in F\,\!$
$(A\in F\land A\subseteq B)\implies B\in F\,\!$
$(\forall A\in \mathbb {P} (X))(A\in F\vee X-A\in F)\,\!$

Vysvětlení definice

Podle bodu 2 je ultrafiltr dolů usměrněná množina, podle bodu 3 je to horní množina – jedná se tedy o filtr v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní filtr – ultrafiltr tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina $\mathbb {P} (X)\,\!$

Podle bodu 4 je v ultrafiltru obsažena podmnožina $A\subseteq X\,\!$ nebo její doplněk $(X-A)\subseteq X\,\!$ . Pokud by pro některou množinu $A\subseteq X\,\!$ obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i $A\cap (X-A)=\emptyset \,\!$ , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že ultrafiltr je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu maximální – jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.

Zjednodušeně řečeno, ultrafiltr „seká“ celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina – její doplněk vybírá právě jednu možnost.

Příklady a vlastnosti

Triviální ultrafiltr

Za hlavní filtr považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny $A\subseteq X\,\!$ , hlavní filtr určený množinou $A\,\!$ tedy lze zapsat jako
$F(A)=\{B\subseteq X:A\subseteq B\}\,\!$
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry – jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou $A=\{a\}\,\!$ , kde $a\in X\,\!$ . Tyto ultrafiltry jsou nazývány triviální ultrafiltry.

Na konečné množině je každý ultrafiltr triviální – celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny $X\,\!$ .
Na nekonečné množině odpovídá počet triviálních ultrafiltrů mohutnosti množiny $X\,\!$ .

Uniformní ultrafiltr

Ultrafiltr ${\mathcal {U}}$ na množině X se nazývá uniformní, má-li každá množina $A\in {\mathcal {U}}$ mohutnost rovnou mohutnosti množiny X. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.

Základní věta o ultrafiltrech

Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává základní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr. Vezmeme-li v úvahu například Fréchetův filtr a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.

Důkaz této věty podstatným způsobem používá princip maximality – větu nelze dokázat bez přijetí axiomu výběru nebo nějaké jeho obdoby.

Dualita s prvoideálem

Stejně jako u většiny pojmů z teorie uspořádání, má i ultrafiltr svůj duální pojem – prvoideál. Ke každému ultrafiltru $F\,\!$ existuje duální prvoideál – množina všech doplňků z $F\,\!$ :
$F^{*}=\{X-A:A\in F\}\,\!$

Vztah platí i opačně – množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr – duální ultrafiltr. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí
$(F^{*})^{*}=F\,\!$