Centrovaný systém

Centrovaný systém je matematický pojem z oboru teorie množin, týkající se konkrétně studia systémů podmnožin nějaké dané množiny.

Definice

Předpokládejme, že $S\,\!$ je množina podmnožin množiny $X\,\!$ (někdy se také říká, že $S\,\!$ je systém množin na $X\,\!$ ), tj. $S\subseteq \mathbb {P} (X)\,\!$ , kde $\mathbb {P} (X)\,\!$ je potenční množina množiny $X\,\!$ . O množině $S\,\!$ řekneme, že se jedná o centrovaný systém, pokud je průnik každé její konečné podmnožiny neprázdný:
$(\forall y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\in S)(y_{1}\cap y_{2}\cap \ldots \cap y_{n}\neq \emptyset )\,\!$

Vlastnosti a příklady

Triviální centrovaný systém

Pokud má celý systém $S\,\!$ neprázdný průnik, pak je centrovaný - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu $Y\subseteq S\,\!$ (nejen konečnou) platí
$\emptyset \neq \bigcap S\subseteq \bigcap Y\implies \emptyset \neq \bigcap Y\,\!$

Netriviální centrovaný systém

Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální centrované systémy - tj. takové, že $\bigcap S=\emptyset \,\!$ , ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.

Uvažujme o nekonečném systému množin přirozených čísel
$S=\{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},\ldots \}\,\!$ , kde $u_{i}\,\!$ je množina všech nenulových násobků čísla $i\,\!$ , tj.

$u_{1}=\{1,2,3,\ldots \}\,\!$
$u_{2}=\{2,4,6,\ldots \}\,\!$
$u_{3}=\{3,6,9,\ldots \}\,\!$
$u_{4}=\{4,8,12,\ldots \}\,\!$
$\ldots \,\!$

Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo $k\,\!$ jako nejmenší společný násobek indexů prvků této konečné podmnožiny $S\,\!$ (například pro $\{s_{3},s_{5},s_{6},s_{8}\}\,\!$ je $k=120\,\!$ ), pak $u_{k}\,\!$ je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému $\bigcap S\,\!$ neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo $n\in \bigcap S\,\!$ a tím pádem by muselo mimo jiné být $n\in u_{n+1}\,\!$ , což je nesmysl.

Vztah centrovaných systémů a filtrů

Jedním z příkladů pro centrovaný systém jsou filtry. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být dolů usměrněná množina dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.

To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém $\{\{0,1,2\},\{1,2,3\}\}\,\!$ je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu $\{1,2\}=\{0,1,2\}\cap \{1,2,3\}\,\!$ . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její nadmnožinu - nemusí to tedy být horní množina, kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.

Na druhou stranu lze každý centrovaný systém $S\subseteq \mathbb {P} (X)\,\!$ rozšířit do nějakého filtru na množině $X\,\!$ . Snadno lze ukázat, že množina
$F(S)=\{Y\subseteq X:(\exists Q\in [S]^{<\omega })(\bigcap Q\subseteq Y)\}\,\!$
je nejmenší filtr na $X\,\!$ , který v sobě obsahuje $S\,\!$ .

Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto:

Vezmu centrovaný systém $S\,\!$ .
Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu $S\,\!$ ).
K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu $S\,\!$ , která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).

Hlavní věta o ultrafiltrech

Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý centrovaný systém lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle principu maximality rozšířit do ultrafiltru, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin hlavní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.