Totálně omezený metrický prostor

Nejobecnější definice totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

  • přirozené číslo n a soubor podmnožin množiny X, takový, že
    • S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
    • každá podmnožina Ai má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

editovat
Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor   všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností   supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel  .

Uvažme množinu   těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor   není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina   je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek   má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro   existovala konečná  -síť  , jejíž prvky můžeme označit  , kde   je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost  , definovanou takto:

  •  , pokud   a  
  •  , pokud   a  
  •  , pokud  

Symbol   značí  -tý prvek  -té posloupnosti v množině  . Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost   se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti  , čehož dosáhneme tak, že pro každé   vhodnou volbou   zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti  

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek   má od posloupnosti   vzdálenost menší, než 1. Z definice   však plyne, že číslo   je od čísla   vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Prekompaktní množina

editovat

Prekompaktní množina, nebo též totálně omezená množina, je taková množina bodů metrického prostoru, která jde vždy pokrýt konečným počtem stejných koulí o libovolně malém poloměru.

Definice

editovat

Množina   v metrickém prostoru se nazývá prekompaktní, jestliže ke každému   existuje v   konečná množina bodů   s vlastností  , kde   jsou  -okolí   (koule se středem   a poloměrem  ).

Vlastnosti

editovat

Množina   je prekompaktní právě tehdy, když z každé posloupnosti prvků   lze vybrat cauchyovskou posloupnost.

Prekompaktní množina je omezená. Kompaktní množiny jsou ty, které jsou prekompaktní a úplné.

Na úplných metrických prostorech prekompaktní množiny a relativně kompaktní množiny splývají.

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Totally bounded space na anglické Wikipedii.

Související články

editovat