Úplný metrický prostor

Metrický prostor, tj. množina vybavená nějakou metrikou, je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je (v dané metrice) cauchyovská, má v této metrice limitu, tj. je konvergentní.

V každém metrickém prostoru jsou konvergentní posloupnosti vždy cauchyovské, jak plyne z trojúhelníkové nerovnosti. Opačně to neplatí například pro metrický prostor racionálních čísel s obvyklou metrikou (která dvěma číslům přiřadí absolutní hodnotu jejich rozdílu). V něm nemá limitu např. posloupnost $3$, $3.1$, $3.14$, $3.141$, $3.1415$..., která v metrickém prostoru reálných čísel konverguje k Ludolfovu číslu $\pi$, které je iracionální.

Z toho plyne, že racionální čísla nejsou úplným prostorem; lze však dokázat, že reálná čísla úplná jsou.

Úplný obal

Ke každému metrickému prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ existuje takový úplný metrický prostor $\mathbf {M} ^{*}$, že $\mathbf {M}$ je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor ${\tilde {\mathbf {M} }}$ hustý v $\mathbf {M} ^{*}$. Prostor $\mathbf {M} ^{*}$ nazýváme úplným obalem metrického prostoru $\mathbf {M}$.

Platí, že pokud jsou $(\mathbf {M} ^{*},\rho _{1}),(\mathbf {M} ^{**},\rho _{2})$ úplné obaly metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$, pak existuje izometrické zobrazení $f:\mathbf {M} ^{*}\to \mathbf {M} ^{**}$.

Vlastnosti

• Úplný metrický prostor není sjednocením spočetného systému řídkých množin.

• Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.

• Metrický prostor X je úplný právě tehdy, když každá posloupnost do sebe zanořených uzavřených neprázdných podmnožin X, s poloměry jdoucími k 0, má neprázdný (přesněji jednobodový) průnik: jestliže F_n je uzavřená a neprázdná, F_n+1 ⊂ F_n pro každé n, a diam(F_n) → 0, pak existuje x ∈ X náležející každé množině  F_n.
• Uzavřený podprostor úplného prostoru je úplný.
• Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
• Banachova věta o kontrakci říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Příklady úplných prostorů

• Prostor reálných čísel $\mathbb {R}$ s euklidovskou metrikou je úplný. Stejně tak prostor komplexních čísel $\mathbb {C}$ s metrikou danou absolutní hodnotou je úplný.
• Každý normovaný vektorový prostor konečné dimenze s metrikou indukovanou normou, tzn: $\rho (a,b)=\|a-b\|$ je úplný. Předchozí příklad je vlastně speciálním případem tohoto faktu.
• Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze posloupnosti, které jsou od jistého indexu konstantní (a tedy jsou konvergentní).
• Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $C(\langle a,b\rangle )$ s metrikou

  $\rho (f,g)=\max _{a\leq x\leq b}{|g(x)-f(x)|}$

je úplný.

Příklady neúplných prostorů

• Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) není úplný metrický prostor. Příkladem budiž posloupnost racionálních čísel $a_{1}=2$, $a_{2}=2,7$, $a_{3}=2,71$, $a_{4}=2,718$, $a_{5}=2,7182$ a dále dle desetinného rozvoje cisla $e$, která je cauchyovská, ale její limitou je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Posloupnost tedy není konvergentní v prostoru racionálních čísel.
• Jakýkoli (omezený) otevřený či polouzavřený interval na reálné ose je neúplný. Například na intervalu $(0,1\rangle \,\!$ není konvergentní posloupnost

$1,{1 \over 2},{1 \over 3},{1 \over 4}\ldots \,\!$

ačkoli je konvergentní v oboru všech reálných čísel.

Související články

• Banachův prostor – Úplný vektorový prostor.
• Banachova věta o pevném bodě
• Uzavřená množina
• Metrický prostor
• Kompaktní množina

Portály: Matematika