Třídové zobrazení

Třídové zobrazení je matematický pojem z oblasti teorie množin, který zobecňuje pojem množinového zobrazení.

Definice

Definice (množinového) zobrazení vyžaduje, aby jak definiční obor tak i obor hodnot byl množinou. V matematice je přesto běžné uvažovat o zobrazeních (například identita, potence, atd.), jejichž formálním definičním oborem je celé matematické univerzum ($\mathbb {V}$), tedy vlastní třída (viz Russellův paradox). Ve standardní formalizaci teorie množin (systém ZFC) přísně vzato o třídách (a tedy i o výše zmíněných zobrazeních) nelze hovořit. Vzniklou situaci lze řešit buď přechodem do jiné formalizace (např. Gödel-Bernays nebo Kelley-Morsey), která o třídách umožňuje mluvit, nebo lze vyjadřování o třídách chápat jako jistý typ zkratky. V tomto textu se budeme držet druhého přístupu, který propagoval W. V. Quine, a je dnes mezi matematiky pracujícími v teorii množin zdaleka nejrozšířenější.

Řekneme, že třída $G=\{x:\phi _{G}(x)\}\,\!$ je třídové zobrazení, jestliže:

1. $G\subseteq \mathbb {V} \times \mathbb {V}$, kde $\mathbb {V} \,\!$ je univerzální třída tj. $G\,\!$ obsahuje výhradně uspořádané dvojice množin.
2. Pro její formuli $\phi _{G}\,\!$ platí podmínka jednoznačnosti, tj. pokud lze dokázat následující implikaci: $\phi _{G}(\langle x,y\rangle )\land \phi _{G}(\langle x,z\rangle )\implies y=z\,\!$

Pro třídové zobrazení můžeme zavést běžné značení funkční hodnoty, tj. formuli $G(x)=y$ chápeme jako zkratku formule $\phi _{G}(\langle x,y\rangle )$. Podobně lze chápat i všechny ostatní pojmy běžně používané u množinových zobrazení (obor hodnot, definiční obor,…) jako jisté zkratky.

Příklady

Množinová zobrazení

Z definice ihned plyne, že každé množniové zobrazení je speciálním případem třídového zobrazení.

Potence

Zobrazení, které každé množině přiřadí množinu všech jejích podmnožin je třídové zobrazení z univerzální třídy do univerzální třídy.

Mohutnost jako třídové zobrazení

Pomocí axiomu výběru lze dokázat, že každou množinu je možno vzájemně jednoznačně zobrazit na právě jedno kardinální číslo. Toto kardinální číslo nazýváme mohutností dané množiny. V teorii ZFC je mohutnost příkladem třídového zobrazení z univerzální třídy $\mathbb {V} \,\!$ do třídy $\mathbb {C} n\,\!$ všech kardinálních čísel. Mohutnost lze definovat i v teorii bez axiomu výběru nicméně její obor hodnot již bude obsahovat i množiny mimo třídu $\mathbb {C} n\,\!$.

Pořadí kardinálních čísel

Uvažujme o předpisu, který každému nekonečnému kardinálnímu číslu přiřadí jeho pořadí podle velikosti. Formálně jde o třídové bijektivní rostoucí zobrazení třídy nekonečných kardinálních čísel na třídu všech ordinálních čísel $\mathbb {O} n\,\!$. Toto zobrazení je inverzní k funkci alef. Funkce alef a funkce gimel jsou dalšími příklady třídového zobrazení mezi vlastními třídami.

Fundovaný rank a konstruovatelný rank množiny

Pokud přijmeme axiom fundovanosti, tj. univerzální třída je totožná s fundovaným jádrem, lze každé množině přiřadit její tzv. fundovaný rank, tj. nejmenší ordinální číslo $\alpha \,\!$, pro které platí, že $x\,\!$ náleží do $\alpha \,\!$-té vrstvy fundovaného jádra ($x\in V_{\alpha }\,\!$).
Získáváme tak třídové zobrazení $\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {O} n$, běžně označované jako rankovací funkce . Podobně jako u mohutnosti lze rankovací zobrazení definovat i v teorii množin bez axiomu fundovanosti. V této teorii tak získáme zobrazení jehož definiční obor bude fundované jádro $\mathbb {WF}$. Podobnými úvahami aplikovanými na třídu $\mathbb {L}$ (Gödelovo univerzum konstruovatelných množin) lze získat konstruovatelný rank množiny, tj. třídové zobrazení z třídy $\mathbb {L}$ na třídu $\mathbb {O} n$.

Podívajte se také na

• Zobrazení
• Vlastní třída
• Ordinální číslo
• Kardinální číslo
• Transfinitní rekurze
• Fundované jádro

Odkazy

Literatura

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X. Kapitola II., §2. 

Portály: Matematika