Hermitovský operátor

Hermitovský operátor (někdy také symetrický) je v matematice označení pro takový lineární a hustě definovaný operátor na Hilbertově prostoru $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$, který splňuje $\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle$ pro všechna $x,y$ pro která je definován, kde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ značí skalární součin.

Každý samosdružený operátor je symetrický, navíc pro omezené operátory jsou oba pojmy ekvivalentní.

Vlastnosti

Hermitovský operátor bývá na prostoru operátorů považován za jakési zobecnění reálného čísla, platí následující vlastnosti:

• $T$ je hermitovský právě když: $\langle Tx,x\rangle \in \mathbb {R}$
• Vlastní čísla hermitovského operátoru jsou reálná.
• Na prostoru konečné dimenze je reprezentován hermitovskou maticí.
• Hermitovský operátor komutuje se svou adjunkcí (tzn. dle definice sám se sebou, což je zřejmé), je tedy takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální.

Využití

Hermitovské operátory mají velké uplatnění v kvantové fyzice, kde se jimi reprezentují pozorovatelné veličiny, jejich vlastní čísla odpovídají možným hodnotám měření a proto je přirozený požadavek, aby byla reálná, což splňují právě hermitovské operátory.

Související články

• Sdružený operátor
• Pozitivní operátor

Externí odkazy

• Funkcionální analýza z rychlíku (skripta MFF UK)
• Adjungovaný operátor, symetrické a samoadjungované operátory (poznámky k přednášce MFF UK)
• Operátory na Hilbertově prostoru (Ostravská univerzita)

Portály: Matematika