Restrikce zobrazení

Matematický pojem restrikce zobrazení vyjadřuje zobrazení, které má menší definiční obor, než původní zobrazení.

Význam

Je-li $f$ zobrazení a $C$ podmnožina definičního oboru, pak restrikce zobrazení $f$ na množinu $C$ (značení ${f|}_{C}$) je zobrazení, které prvkům $C$ přiřadí totéž, co $f$, ale jiným prvkům nepřiřadí nic.

Příklad: Označme $f(x)=x^{2}$ operaci mocnina celých čísel a g(x) jeho restrikci na čísla přirozená. Pak platí:

$f(3)=g(3)=9$

$f(-2)=4$

$g(-2)$ není definováno

Definičním oborem f jsou celá čísla, definičním oborem g jsou jen přirozená čísla

Formální definice

Formálně se zobrazení definuje jako množina uspořádaných dvojic, tzn. jako podmnožina kartézského součinu:

$f$ je zobrazení z množiny $A$ do množiny $B$ (značíme $f:A\to B$ ), právě když $f\subseteq A\times B$.

Mějme zobrazení $f:A\to B$ a množinu $C\subseteq A$, pak restrikce $f$ na $C$ je definována takto:

${f|}_{C}=f\bigcap (C\times B)$

Jinými slovy, ${f|}_{C}$ restrikce zobrazení $f$ obsahuje pouze ty dvojice, jejichž levý prvek (tzv. vzor) leží v množině $C$.

Příklad

Je-li f funkce "druhá mocnina" na oboru $N^{+}$ přirozených čísel, pak formálně vzato je f nekonečná množina dvojic:

f = { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25) ... }

Restrikcí f na množinu {1,2,3} je tříprvková množina

${f|}_{\{1,2,3\}}=f\bigcap (\{1,2,3\}\times N^{+})=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}$

Množina $\{1,2,3\}\times N^{+}$ obsahuje všechny uspořádané dvojice $(a,b)$, kde b je přirozené číslo a $a\in \{1,2,3\}$. Dvojice (4,16) v této množině není, proto není ani prvkem průniku (tj. restrikce, kterou tento průnik definuje). Naopak dvojice (1,2) a (1, 2345) v této množině jsou, ale nejsou prvkem f, takže také nejsou prvkem výsledného zobrazení.