Pythagorejská trojice

Pythagorejská trojice je v matematice trojice přirozených čísel a, b, c (tj. celých kladných čísel), které lze využít jako velikosti stran pravoúhlého trojúhelníka. Tyto celočíselné kombinace byly využívány již ve starověku a jsou dones využívány v běžném životě (např. vyměření pravého úhlu na stavbě pomocí provázku s uzly ve stejných vzdálenostech, případně vyměření pravého úhlu svinovacím metrem v násobku jedné z Pythagorejských trojic).

Název pythagorejská trojice je odvozen od Pythagorovy věty, která definuje pro strany pravoúhlého trojúhelníka vztah: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Příklady trojic

Pro čísla do 100 je celkem 16 základních Pythagorejských trojic:

3, 4, 5
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25
20, 21, 29
12, 35, 37
9, 40, 41
28, 45, 53
11, 60, 61
16, 63, 65
33, 56, 65
48, 55, 73
13, 84, 85
36, 77, 85
39, 80, 89
65, 72, 97

Mezi Pythagorejské trojice patří také všechny násobky výše uvedených trojic. Například Pythagorejská trojice (6; 8; 10) nebo (30; 40; 50) není základní Pythagorejskou trojicí, protože je násobkem základní trojice (3; 4; 5).

Generátory pythagorejských čísel

Generátor pythagorejských trojic čísel je trojice matematických funkcí pro $a,b,c=f()\,\!$ . Dosazením proměnné, nebo proměnných do funkcí se vypočtou – vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel $a,b,c\,\!$ .

Nejvhodnější jsou takové funkce, které by zahrnovaly všechna možná řešení a byla přitom vyloučena ta řešení, která jsou násobky jiných řešení.

Násobnými řešeními jsou takové pythagorejské trojice, která jsou celočíselným násobkem jiné pythagorejské trojice.

Klasické řešení

Klasický generátor pythagorejských trojic čísel je funkce $a,b,c=f(x,y)\,\!$ kdy $x,y\in \mathbb {N}$ a $x>y\,\!$ . Existuje ve tvaru:

a=2xy\,\!

b=x^{2}-y^{2}\,\!

c=x^{2}+y^{2}\,\!

Protože tento generátor používá dvou proměnných, je velmi variabilní, a tak dává velké množství řešení, ale mnohá řešení jsou násobná.

Jiná řešení

Mohou existovat i jiné generátory pythagorejských trojic čísel, které pak mají specifické vlastnosti.

Zde uvedené generátory například dokáží vygenerovat všechny možné kombinace pro definované podmínky, násobné kombinace jsou ale generátorem vynechány.

Za podmínky, že $c-b=1\,\!$ existuje generátor