Ortogonální funkce

V matematice o dvou funkcích $f(x)$ a $g(x)$ řekneme, že jsou ortogonální, pokud jsou splněny tyto podmínky

$f(x)$ a $g(x)$ patří do nějakého prostoru funkcí, což je vektorový prostor s bilineární formou
definičním oborem prostoru funkcí je nějaký interval
$f\neq g$
existuje bilineání forma definovaná jako integrál součinu funkcí na tomto intervalu:
$\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.$
$\langle f,\,g\rangle =0$

Ortogonální funkce mohou tvořit nekonečnou bázi prostoru funkcí s podobnými vlastnostmi jako má báze vektorů v konečněrozměrném prostoru. Výše uvedený integrál je konceptuálně ekvivalentem skalárního součinu vektorů; dva vektory jsou vzájemně nezávislé (ortogonální), pokud je jejich skalární součin nulový.

Předpokládejme, že $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ je posloupnost ortogonálních funkcí s nenulovými L²-normami ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ . Pak posloupnost $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ tvořená funkcemi s L²-normou jedna tvoří ortonormální posloupnost. Aby bylo možné definovat L²-normu, musí být integrál omezený, což vyžaduje, aby funkce byly integrovatelné na čtverci.

Trigonometrické funkce

Několik sad ortogonálních funkcí se používá jako báze pro aproximaci funkcí. Například sinové funkce sin nx a sin mx jsou ortogonální na intervalu $x\in (-\pi ,\pi ),$ pokud $m\neq n$ a n a m jsou kladná celá čísla. Pak

2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),

a integrál součinu dvou funkcí sinus bude mít nulovou hodnotu.^[1] Složením těchto ortogonálních funkcí s kosinovými funkcemi vzniknou trigonometrické polynomy, které lze použít pro aproximaci libovolné funkce na daném intervalu pomocí Fourierovy řady.

Polynomy

Pokud vyjdeme od posloupnosti monomů $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ na intervalu $\langle -1,1\rangle$ a použijeme Gramovu–Schmidtovu ortogonalizaci, dostaneme posloupnost Legendrových polynomů. Jiným systémem ortogonálních polynomů jsou přidružené Legendrovy polynomy.

Při studiu ortogonálních polynomů hrají důležitou roli váhové funkce $w(x),$ které se vyskytují v bilineární formě:

\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.

Pro Laguerrovy polynomy na $(0,\infty )$ je váhová funkce $w(x)=e^{-x}$ .

Fyzikové i teoretici v teorii pravděpodobnosti používají Hermitovy polynomy na intervalu $(-\infty ,\infty )$ s váhovou funkcí $w(x)=e^{-x^{2}}$ nebo $w(x)=e^{-x^{2}/2}$ .

Čebyševovy polynomy jsou definovány na intervalu $\langle -1,1\rangle$ a používají váhové funkce ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ nebo ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ .

Zernikeovy polynomy jsou definovány na jednotkovém kruhu a mají ortogonální jak radiální tak angulární složky.

Binární-hodnocený funkce

Walshovy funkce a Haarovy vlnky jsou příkladem ortogonálních funkcí s diskrétním oborem hodnot.

Racionální funkce

Graf Čebyševových racionálních funkcí řádu n=0,1,2,3 a 4 mezi x=0.01 a 100.

Legendrovy a Čebyševovy polynomy jsou posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu $\langle -1,1\rangle .$ Někdy jsou potřeba posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu $\langle 0,\infty )$ . V tomto případě je pohodlné transformovat argument do intervalu $\langle -1,1\rangle$ použitím Cayleyovy transformace. Tento postup vede k rodině racionálních ortogonálních funkcí, které se nazývají Legendrovy racionální funkce a Čebyševovy racionální funkce.

V diferenciálních rovnicích

Řešení lineární diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami lze často zapsat jako vážený součet ortogonálních funkcí, které jsou řešením této rovnice (nazývaných také vlastní funkce), což vede k zobecněným Fourierovým řadám.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Orthogonal functions na anglické Wikipedii.

↑ Zygmund 1935, s. 6.

Literatura

ARFKEN, George B.; WEBER, Hans J., 2005. Mathematical Methods for Physicists. 6. vyd. [s.l.]: Academic Press. Kapitola 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions.
PRICE, Justin J., 1975. Topics in orthogonal functions. American Mathematical Monthly. Roč. 82, s. 594–609. Dostupné online. DOI 10.2307/2319690.
SANSONE, Giovanni, 1959. Orthogonal Functions. [s.l.]: Interscience Publishers.
ZYGMUND, Antoni, 1935. Trigonometrical series. [s.l.]: University of Warsaw.

Související články

Externí odkazy

Ortogonal Functions na MathWorld.

[FOOTNOTEZygmund19356-1] Zygmund 1935, s. 6.

[1]