Trigonometrický polynom

Trigonometrický polynom je v matematice konečná lineární kombinace funkcí sin(nx) a cos(nx) pro přirozená n. Při omezení se na reálné funkce lze pracovat s reálnými koeficienty; v případě komplexních koeficientů není žádný rozdíl mezi takovou funkcí a konečnou Fourierovou řadou.

Trigonometrické polynomy se často používají v numerické matematice a matematické analýze, například při interpolaci periodických funkcí pomocí trigonometrické interpolace. Používají se také pro diskrétní Fourierovu transformaci.

V oboru reálných čísel lze termín trigonometrický polynom považovat za použití analogie: funkce sin(nx) a cos(nx) jsou obdobou jednočlenné báze polynomů. V komplexním případě se za trigonometrické polynomy označují výrazy s kladnými i zápornými mocninami e^ix.

Formální definice

Libovolnou funkci T tvaru

$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )$

s $a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$ pro $0\leq n\leq N$, nazveme komplexním trigonometrickým polynomem stupně N. Pomocí Eulerova vzorce lze takový polynom přepsat do tvaru

$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).$

Obdobně výraz

$t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )$

pro $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq n\leq N$ a $a_{N}\neq 0$ nebo $b_{N}\neq 0$, nazýváme reálným trigonometrickým polynomem stupně N.

Vlastnosti

Trigonometrický polynom lze považovat za periodickou funkci na reálné ose, s periodou rovnou celočíselnému násobku 2$\pi$ nebo za funkci na jednotkové kružnici.

Důležitou vlastností trigonometrických polynomů je, že jsou husté v prostoru spojitých funkcí na jednotkové kružnici, se supremovou normou; jde o speciální případ Stoneovy–Weierstrassovy věty. Přesněji: pro každou spojitou funkci f a každé ε > 0, existuje trigonometrický polynom T takový, že pro všechna z |f(z) − T(z)| < ε. Fejérova věta říká, že aritmetické průměry částečných součtů Fourierovy řady funkce f konvergují rovnoměrně k f, za předpokladu, že f je spojitá na kružnici, což nám dává explicitní metodu pro nalezení aproximačního trigonometrického polynomu T.

Pokud trigonometrický polynom stupně N není nulová funkce, pak má v jakémkoli intervalu $\langle a,a+2\pi )$ reálných čísel nejvýše 2N kořenů.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Trigonometric polynomial na anglické Wikipedii.

Literatura

• POWELL, Michael J. D., 1981. Approximation Theory and Methods. [s.l.]: Cambridge University Press. Dostupné online. ISBN 978-0-521-29514-7. 
• RUDIN, Walter, 1987. Real and complex analysis. 2. vyd. New York: McGraw-Hill. Dostupné online. ISBN 978-0-07-054234-1.