Ortogonální doplněk

V matematice tvoří ortogonální doplněk množiny $M$ všechny vektory, které jsou na prvky dané množiny kolmé. Značí se $M^{\perp }$ .

Ortogonální doplněk se využívá v lineární algebře a funkcionální analýze. Má řadu aplikací, např. v teorii relativity.

Definice

Ortogonální doplněk množiny $M$ ve vektorovém prostoru $V$ se skalárním součinem je množina $M^{\perp }$ všech vektorů z $V$ které jsou kolmé na všechny vektory z $M$ , formálně:

M^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}}\rangle =0\}

Ukázka

Ortogonální doplněk množiny $M=\{(1,3-2)^{\mathrm {T} },(3,5,6)^{\mathrm {T} }\}$ v prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu tvoří všechny vektory ${\boldsymbol {v}}$ takové, že $\langle {\boldsymbol {v}},(1,3-2)^{\mathrm {T} }\rangle =0$ a zároveň $\langle {\boldsymbol {v}},(3,5,6)^{\mathrm {T} }\rangle =0$ .

Souřadnice hledaných vektorů ${\boldsymbol {v}}$ lze popsat homogenní soustavou lineárních rovnic:

{\begin{array}{rcrcr}v_{1}&+&3v_{2}&-&2v_{3}&=&0\\3v_{1}&+&5v_{2}&+&6v_{3}&=&0\end{array}}

neboli soustavou ${\boldsymbol {Av}}={\boldsymbol {0}}$ , kde řádky matice ${\boldsymbol {A}}$ tvoří vektory množiny $M$ .

Řešením soustavy neboli jádrem matice ${\boldsymbol {A}}$ , a tedy i ortogonálním doplňkem množiny $M$ je $M^{\perp }=\operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=\{c(-7,3,1)^{\mathrm {T} }:c\in \mathbb {R} \}$ .

Geometricky lze doplněk $M^{\perp }$ interpretovat jako normálu k rovině $U$ určené počátkem a body množiny $M$ . Nenulové vektory této přímky jsou kolmé nejenom na oba vektory z $M$ , ale na všechny vektory roviny $U$ .

Jinými slovy, $M^{\perp }$ je nejen ortogonální doplněk řádků matice ${\boldsymbol {A}}$ , ale zároveň i ortogonálním doplňkem $U^{\perp }$ jejího řádkového prostoru $U$ , t.j. prostoru obsahujícího všechny lineární kombinace obou řádků ${\boldsymbol {A}}$ .

Zobecnění pro bilineární formy

Pokud pro vektory ${\boldsymbol {u}}$ a ${\boldsymbol {v}}$ z vektorového prostoru $V$ nad tělesem $T$ s bilineární formou $B$ platí, že $B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=0$ , potom ${\boldsymbol {u}}$ je zleva kolmý (ortogonální) k ${\boldsymbol {v}}$ , a také ${\boldsymbol {v}}$ je k ${\boldsymbol {u}}$ kolmý zprava. Pro podmnožinu $M$ prostoru $V$ se levý ortogonální doplněk $W^{\perp }$ definuje jako:

W^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=0\}

Analogicky lze definovat pravý ortogonální doplněk. Pro bilineární formu, splňující $\forall {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V:B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=0\implies B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=0$ , se levý a pravý doplněk shodují. Uvedený případ nastává, například pokud $B$ je symetrická nebo antisymetrická bilineární forma.

Definici doplňku lze rozšířit pro bilineární formy na volném modulu nad komutativními okruhy a pro seskvilineární formy rozšířené tak, aby obsahovaly jakýkoli volný modul na komutativním okruhu s konjugací.

Vlastnosti zobecněného doplňku

Ortogonální doplněk je podprostorem vektorového prostoru $V$ .
Pokud $M\subseteq N$ , pak $M^{\perp }\supseteq N^{\perp }$ .
Doplněk $V^{\perp }$ celého prostoru $V$ je podprostorem každého ortogonálního doplňku.
$M\subseteq (M^{\perp })^{\perp }$
Pokud je forma $B$ nedegenerovaná a $U$ je podprostorem prostoru $V$ konečné dimenze, potom platí: $\dim U+\dim U^{\perp }=\dim V$ .

Vlastnosti

Pro ortogonální doplněk na unitárním prostoru $V$ platí všechny vlastnosti uvedené v předchozím odstavci a dále:

$M^{\perp }=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}}\rangle =0\}=\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall {\boldsymbol {u}}\in M:\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle =0\}$

$M^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} M\right)=\{{\boldsymbol {0}}\}$

Kolmost dvou vektorů ${\boldsymbol {u}}$ a ${\boldsymbol {v}}$ splňuje: $\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle =0\Longleftrightarrow \forall c\in \mathbb {C} :\|{\boldsymbol {u}}\|\leq \|{\boldsymbol {u}}+c{\boldsymbol {v}}\|$ , a tak ortogonální doplněk podprostoru $U$ prostoru $V$ lze zapsat jako množinu:

$U^{\bot }=\left\{{\boldsymbol {v}}\in V:\forall \ {\boldsymbol {u}}\in U:\|{\boldsymbol {v}}\|\leq \|{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}\|\right\}$

Každý uzavřený podprostor $U$ Hilbertova prostoru $V$ má navíc vlastnosti:

$\left(U^{\bot }\right)^{\bot }=U$

Prostor $V$ má ortogonální rozklad $V=U\oplus U^{\bot }$ kde $\oplus$ značí přímý součet dvou podprostorů.

Speciálními případy Hilbertových prostorů jsou unitární prostory konečné dimenze. V nich je vždy zaručeno, že $\dim U+\dim U^{\perp }=\dim V$ .

Maticové prostory

Je-li ${\boldsymbol {A}}$ reálná či komplexní matice typu $m\times n$ a symboly $R_{\boldsymbol {A}}$ , $S_{\boldsymbol {A}}$ a $\ker {\boldsymbol {A}}$ značí řádkový prostor, sloupcový prostor a jádro matice ${\boldsymbol {A}}$ , resp., tak tyto prostory jsou vzájemnými ortogonálními doplňky:

$(R_{\boldsymbol {A}})^{\bot }=\ker {\boldsymbol {A}}$

$(S_{\boldsymbol {A}})^{\bot }=\ker({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })$

Aplikace

Ve speciální teorii relativity se ortogonální doplněk používá k určení současné nadroviny v bodě světočáry. Bilineární forma $\eta$ použitá v Minkowského prostoru určuje pseudoeuklidovský prostor událostí. Počátek a všechny události na světelném kuželu jsou samy k sobě ortogonální. Když bilineární forma zobrazí časovou a prostorovou událost na nulu, pak jsou tyto události hyperbolicky ortogonální. Uvedená terminologie vychází z použití dvou sdružených hyperbol v pseudoeuklidovské rovině: sdružené průměry těchto hyperbol jsou hyperbolicky ortogonální.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Orthogonal complement na anglické Wikipedii.

Literatura

BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.

Související články

Ortogonální projekce