Minkowského prostor

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4rozměrný reálný lineární vektorový prostor s pseudoskalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru $\mathbf {a} =a^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$ má 4 souřadnice

a^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)\,.

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta $t$ , ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím $x,y,z$ . Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu $c=299\,792\,458\ \mathrm {m.s^{-1}}$ . V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá $c=1$ . Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru ( $\mathbf {a} =a^{\mu }\mathbf {e} _{\mu },\ \mathbf {b} =b^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$ ) je definován vztahem

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle \equiv a_{\mu }b^{\mu }=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }=-a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\,.

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

||\mathbf {a} ||^{2}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle =-a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí $||\mathbf {a} ||^{2}=\pm 1$ .

Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory $\mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ , pro které platí

-||\mathbf {e} _{0}||^{2}=||\mathbf {e} _{1}||^{2}=||\mathbf {e} _{2}||^{2}=||\mathbf {e} _{3}||^{2}=1\,.

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

\langle \mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }\,,

kde $\eta$ je diagonální matice

\eta =\operatorname {diag} \left(-1,1,1,1\right)={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,.

Související články

Externí odkazy

Minkowského prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)