Metoda neurčitých koeficientů

Metoda neurčitých koeficientů je v matematice přístup k hledání partikulárního řešení určitých nehomogenních obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic. Metoda je blízce příbuzná metodě anihilátorů, ale místo použití určitého druhu diferenciálního operátoru (anihilátoru) pro nalezení nejlepšího možného tvaru partikulárního řešení se provede „odhad“, vhodného tvaru řešení, který se pak upřesní a ověří derivováním výsledné rovnice. Pro složité rovnice je rychlejší použít metodu anihilátorů nebo variace parametrů.

Metoda neurčitých koeficientů není tak obecná jako metoda variace konstant, protože je použitelná pouze pro diferenciální rovnice, které mají určité tvary.

Popis metody

Uvažujeme lineární nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici tvaru

$a_{n}y^{(n)}+a_{(n-1)}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=g(x).$

Metoda spočívá v hledání obecného homogenního řešení $y_{c}$ komplementární lineární homogenní diferenciální rovnice

$a_{n}y^{(n)}+a_{(n-1)}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=0,$

a partikulárního integrálu $y_{p}$ lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice s pravou stranou $g(x)$. Obecné řešení $y$ lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice pak je

$y=y_{c}+y_{p}.$

Pokud $g(x)$ vyjádříme jako součet dvou funkcí $h(x)+w(x)$, pak říkáme, že $y_{p_{1}}$ je řešení vycházející z $h(x)$ a $y_{p_{2}}$ řešení vycházející z $w(x)$. Pak použitím principu superpozice můžeme říct, že partikulární integrál $y_{p}$ je

$y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.$

Typické tvary partikulárního integrálu

Pro nalezení partikulárního integrálu potřebujeme „uhodnout“ jeho tvar, přičemž některé koeficienty ponecháme proměnné, a jejich hodnoty zjistíme vyřešením rovnice. Tvarem je první derivace komplementární funkce. Následuje tabulka některých typických funkcí a odhadů tvaru jejich řešení.

Funkce x	Tvar y
$ke^{ax}\!$	$Ce^{ax}\!$
$kx^{n}\mathrm {,} \;n=0,1,2,\cdots \!$	$K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}\!$
$k\cos(ax)\;\;\mathrm {nebo} \;\;k\sin(ax)\!$	$K\cos(ax)+M\sin(ax)\!$
$ke^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {nebo} \;\;ke^{ax}\sin(bx)\!$	$e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx))\!$
$ke^{ax}\cosh(bx)\;\;\mathrm {nebo} \;\;ke^{ax}\sinh(bx)\!$	$e^{ax}(K\cosh(bx)+M\sinh(bx))\!$
$P_{n}(x)e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {nebo} \;\;P_{n}(x)e^{ax}\sin(bx)\!$	$e^{ax}\left(\left(\sum _{i=0}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=0}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\right)$

kde $P_{n}(x)=\sum _{i=1}^{n}k_{i}x^{i}\!$

Pokud se v homogenním řešení objeví nějaký člen z výše uvedeného partikulárního integrálu pro y, musíme jej vynásobit dostatečnou mocninou x, aby řešení nebyla závislá. Jestliže funkci proměnné x lze vyjádřit jako součet členů z výše uvedené tabulky, jako odhad partikulárního integrálu použijeme součet odpovídajících termů proměnné y.

Příklady

Příklad 1

Hledáme partikulární integrál rovnice

$y''+y=t\cos {t}.\!$

Pravá strana t cos t má tvar

$P_{n}e^{\alpha t}\cos {\beta t}\!$

pro n=1, k₁=1, α=0 a β=1.

Protože α + iβ = i je jednoduchý kořen charakteristické rovnice

$\lambda ^{2}+1=0\!$

budeme zkoušet partikulární integrál tvaru

${\begin{aligned}y_{p}&=t[F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}]\\&=t[F_{1}(t)\cos {t}+G_{1}(t)\sin {t}]\\&=t[(A_{0}t+A_{1})\cos {t}+(B_{0}t+B_{1})\sin {t}]\\&=(A_{0}t^{2}+A_{1}t)\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)\sin {t}.\\\end{aligned}}$

Substitucí y_p do diferenciální rovnice, dostaneme identitu

${\begin{aligned}t\cos {t}&=y_{p}''+y_{p}\\&=[(A_{0}t^{2}+A_{1}t)\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)\sin {t}]''\\&\quad +[(A_{0}t^{2}+A_{1}t)\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)\sin {t}]\\&=[2A_{0}\cos {t}+2(2A_{0}t+A_{1})(-\sin {t})+(A_{0}t^{2}+A_{1}t)(-\cos {t})]\\&\quad +[2B_{0}\sin {t}+2(2B_{0}t+B_{1})\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)(-\sin {t})]\\&\quad +[(A_{0}t^{2}+A_{1}t)\cos {t}+(B_{0}t^{2}+B_{1}t)\sin {t}]\\&=[4B_{0}t+(2A_{0}+2B_{1})]\cos {t}+[-4A_{0}t+(-2A_{1}+2B_{0})]\sin {t}.\\\end{aligned}}$

Porovnáním obou stran dostaneme soustavu

${\begin{array}{rrrrl}&&4B_{0}&&=1\\2A_{0}&&&+2B_{1}&=0\\-4A_{0}&&&&=0\\&-2A_{1}&+2B_{0}&&=0\\\end{array}}$

která má řešení $A_{0}$ = 0, $A_{1}$ = 1/4, $B_{0}$ = 1/4, $B_{1}$ = 0. Výsledný partikulární integrál je tedy

$y_{p}={\frac {1}{4}}t\cos {t}+{\frac {1}{4}}t^{2}\sin {t}.$

Příklad 2

Hledáme řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y+e^{x}.$

Nehomogenní část má tvar uvedený v prvním případě v předchozí kapitole pro a=1. Protože tato nehomogenní část ($e^{x}$) je lineárně závislá s obecným řešení homogenní části ($c_{1}e^{x}$), musíme uvedený odhad znásobit dostatečně velkou mocninou x, aby byl lineárně nezávislý.

Výsledný odhad je:

$y_{p}=Axe^{x}.$

substitucí této funkce a její derivace do diferenciální rovnice můžeme zjistit řešení A:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}$

$Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}$

$A=1.$

Takže obecné řešení původní diferenciální rovnice je:

$y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.$

Příklad 3

Hledáme obecné řešení rovnice:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=t^{2}-y$

$f(t)=t^{2}$ je polynom 2. stupně, takže hledáme řešení jako obecný polynom druhého stupně:

$y_{p}=At^{2}+Bt+C$, tedy

${\frac {\mathrm {d} y_{p}}{\mathrm {d} t}}=2At+B$

Dosazením tohoto partikulárního integrálu s konstantami A, B a C do původní rovnice dostaneme

$2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C)$,

odtud

$t^{2}-At^{2}=0$

$-Bt=2At$

$-C=B$

tj.

$A=1$

$B=-2$

$C=2$

Po dosazení vypočítaných konstant máme

$y_{p}=t^{2}-2t+2$

Obecné řešení je

$y=y_{p}+y_{c}$

kde $y_{c}$ je homogenní řešení $y_{c}=c_{1}e^{-t}$. Obecné řešení tedy je:

$y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Method of undetermined coefficients na anglické Wikipedii.

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 1. vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1983. 

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
• Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3