Matice zkosení

Matice zkosení (anglicky transvection) je v lineární algebře elementární matice, která reprezentuje přičtení násobku jednoho řádku nebo sloupce k jinému. Takovou matici můžeme dostat z jednotkové matice nahrazením jednoho nulového prvku nenulovou hodnotou.

Definice

Matice zkosení má podobu:

${\boldsymbol {L}}_{ij}(\lambda )={\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&\lambda &&\\&&&\ddots &&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}}$

Formálně pro dvojici různých indexů $i\neq j$ a parametr $\lambda$:

$({\boldsymbol {L}}_{i,j}(\lambda ))_{k,l}={\begin{cases}\lambda &{\text{pro }}(k,l)=(i,j),\\1&{\text{pro }}k=l,\\0&{\text{jinak}}.\\\end{cases}}$

Ukázka v $\mathbb {R} ^{2}$

Zkosení rovnoběžné s osou $x$ vede k $x'=x+\lambda y$ a $y'=y$. V maticovém tvaru:

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

Podobně zkosení rovnoběžné s osou $y$ má $x'=x$ a $y'=y+\lambda x$. V maticovém tvaru:

${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

Vlastnosti

Podrobnější informace naleznete v článku Zkosení.

Je-li ${\boldsymbol {L}}$ je matice zkosení řádu $n$, pak má následující vlastnosti:

• ${\boldsymbol {L}}$ je asymetrická, neboli není symetrická,
• z ${\boldsymbol {L}}$ lze vytvořit blokovou matici záměnou vhodné dvojice sloupců a vhodné dvojice řádků,
• ${\boldsymbol {L}}$ má hodnost $n$, a proto je regulární.
• inverzní matice je $({\boldsymbol {L}}_{ij}(\lambda ))^{-1}={\boldsymbol {L}}_{ij}(-\lambda )$, reprezentující transformaci zkosení opačným směrem,
• pro celočíselné, tedy i nekladné mocniny platí $({\boldsymbol {L}}_{ij}(\lambda ))^{n}={\boldsymbol {L}}_{ij}(n\lambda )$,
• ${\boldsymbol {L}}$ je trojúhelníková s 1 na diagonále a proto má její determinant hodnotu $\det {\boldsymbol {L}}=1$,
• obsah, objem nebo objemy polytopů jakéhokoli vyššího řádu se při zkosení vrcholů polytopu nemění,
• pro stopu platí $\operatorname {tr} {\boldsymbol {L}}=n$,
• 1 je jediné vlastní číslo matice ${\boldsymbol {L}}$,
• geometrická násobnost vlastního čísla 1 neboli dimenze prostoru vlastních vektorů matice ${\boldsymbol {L}}$ je $n-1$,
• ${\boldsymbol {L}}$ je defektní.

Skládání v rovině

Pro skládání dvou nebo více zkosení v rovině platí vztah:

Jsou-li ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ a ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$ dvě matice zkosení, pak matice složené transformace je:

${\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}}$.

Determinant výsledné matice je 1, takže se obsah či objem zachová i při složené transformaci (platí obecně i ve vyšších dimenzích).

Volba $\lambda =\mu$ dává pozitivně definitní matici ${\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}}$.

Aplikace

• Matice zkosení se často používají v počítačové grafice.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Shear matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Elementární matice
• Transformační matice