Laplaceova transformace

Laplaceova transformace v matematice označuje jednu ze základních integrálních transformací. Používá se k řešení některých obyčejných diferenciálních rovnic, zejména těch, jež se objevují při analýze chování elektrických obvodů, harmonických oscilátorů a optických zařízení. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systémů spojitě pracujících v čase, kde je protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy.

Užitečnost Laplaceovy transformace spočívá v tom, že převádí funkce reálné proměnné na funkce komplexní proměnné způsobem, při němž se mnohé složité vztahy mezi původními funkcemi radikálně zjednoduší.

Laplaceovu transformaci odvodil roku 1812 francouzský matematik Pierre-Simon de Laplace. Již dříve (1737) však tuto transformaci použil Leonhard Euler při řešení jistých obyčejných diferenciálních rovnic.

Definice

Laplaceova transformace

Nechť je funkce $f(t)$ spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná na intervalu $\langle 0,\infty )$. Pak Laplaceova transformace $L\{f(t)\}$ funkce $f(t)$ je definována integrálním vztahem:

$L\{f(t)\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$,

kde $s$ je komplexní nezávisle proměnná. Obraz funkce $f(t)$ při Laplaceově transformaci je funkce jedné komplexní proměnné $s$, často ji značíme $F(s)$. Definičním oborem $F$ je oblast konvergence integrálu (viz níže).

Funkci $f(t)$ nazýváme originálem a funkci $F(s)$ obrazem funkce $f(t)$.

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem:

$L^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)e^{st}\,ds={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\{c+iu;\,u\in \mathbb {R} \}}F(s)e^{st}\,ds$,

kde $c$ je libovolné reálné číslo ležící v oblasti konvergence $F$ (pak celá přímka $\operatorname {Re} (s)=c$, přes niž se integruje, leží v oblasti konvergence (viz níže)).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Existence

I v případě, že funkce $f(t)$ je na celém intervalu $\langle 0,\infty )$ spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí $f(t)$ splňovat kritérium konvergence

$\lim _{t\to \infty }|f(t)|e^{-st}=0$.

Například funkce $f(t)=e^{t^{2}}$ tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje.

Oblast konvergence

Pro danou funkci $f$ se množina hodnot $s$, pro něž integrál v Laplaceově transformaci konverguje, nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro $f$ v bodě $s_{0}$, pak konverguje v každém bodě $s$, pro který $\operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})$. Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy $\{s;\operatorname {Re} (s)>R\}$, kde $R$ je dáno chováním funkce $f(t)$ pro $t\to \infty$.

Vztah k inverzní Laplaceově transformaci

Pro každou funkci $f$ takovou, že $L\{f\}$ existuje, platí pro skoro všechna $t$ (Lerchova věta):

$f(t)=L^{-1}\{L\{f(t)\}\}\,$

Vztah k derivaci

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:

$L\{f^{(n)}\}=s^{n}L\{f\}-s^{n-1}f(0_{+})-\cdots -sf^{(n-2)}(0_{+})-f^{(n-1)}(0_{+})\,$

Vzorec lze odvodit pomocí integrace per partes a platí právě tehdy, když jednotlivé derivace existují. Tento vztah umožňuje přímé začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.

Základní vlastnosti Laplaceovy transformace

Pro dané funkce $f(t)$ a $g(t)$, a jejich příslušné Laplaceovy transformace $F(s)$ a $G(s)$ následující tabulka shrnuje vlastnosti Laplaceovy transformace:

Vlastnosti jednostranné Laplaceovy transformace

	Vzor	Obraz	Komentář
Linearita	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	Obrazem lineární kombinace vzorů je lineární kombinace obrazů s týmiž koeficienty. Odvodit lze na základě definičního vztahu. Této vlastnosti se využívá při odvozování goniometrických a hyperbolických funkcí.
Derivování podle parametru	$tf(t)\$	$-F'(s)\$
Derivování originálu	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0_{+})\$	Získá se z integrování per partes. Odčítá se limita funkce zprava v počátku (počáteční podmínka).
Integrování originálu	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)$ je Heavisideova funkce.
Podobnost	$f(at)\$	${1 \over a}F\left({s \over a}\right)$	$a>0$
Tlumení	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
Konvoluce	$(f*g)(t)\$	$F(s)\cdot G(s)\$
Posunutí (věta o translaci)	$f(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	Posunutí proměnné $t$ v originále o konstantu $a>0$ se projeví vynásobením obrazu výrazem $e^{-as}\$

Odkazy

Související články

• Integrální transformace
• Fourierova transformace
• Z-transformace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Laplaceova transformace na Wikimedia Commons
• Laplaceova transformace v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Učební text z FEL ČVUT o Laplaceově transformaci, Nováková,Hyánková,Průcha Archivováno 2. 10. 2006 na Wayback Machine.

Autoritní data	NKC: ph117703 PSH: 7572 BNF: cb119531733 (data) LCCN: sh85074666 NDL: 00567362 NLI: 987007555498105171

Portály: Matematika