Kulová úseč

V geometrii je kulová úseč část koule odříznutá rovinou. Kulová úseč je těleso. Prochází-li rovina středem koule, tzn. výška kulové úseče se rovná poloměru koule, kulová úseč se pak nazývá polokoule.

Kulová úseč (modře). V dalším textu je použito pro výšku místo $h$ označení $v$ a pro poloměr kulové úseče místo $a$ označení řeckým písmenem $\rho$, tak jak je běžně používáno v české matematické literatuře

Povrch kulové úseče (bez podstavy) se nazývá kulový vrchlík. Kulový vrchlík je plocha kterou je kulová úseč omezena. Kulový vrchlík si můžeme představit jako „čepičku“.

Objem kulové úseče a povrch kulového vrchlíku

Objem kulové úseče a povrch zakřiveného povrchu kulového vrchlíku lze vypočítat pomocí následujících vztahů:

• Poloměr $r$ koule
• Poloměr $\rho$ kruhové podstavy úseče
• Výška $v$ úseče od středu podstavy úseče k vrcholu úseče (pólu)
• Polární úhel $\theta$ mezi přímkou od středu koule k vrcholu úseče (pól) a okrajem podstavy úseče

	Použitím $r$ a $v$	Použitím $\rho$ a $v$	Použitím $r$ a $\theta$
Objem	$V={\frac {\pi v^{2}}{3}}(3r-v)$	$V={\frac {1}{6}}\pi v(3\rho ^{2}+v^{2})$	$V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}$
Plocha	$S=2\pi rv$	$S=\pi (\rho ^{2}+v^{2})$	$S=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )$

Vzorce používající $r$ a $v$ lze vyjádřit tak, aby používali poloměr podstavy úseče $a$ místo $r$, použitím Pythagorovy věty:

$r^{2}=(r-v)^{2}+\rho ^{2}=r^{2}+v^{2}-2rv+\rho ^{2}\,,$

aby

$r={\frac {\rho ^{2}+v^{2}}{2v}}\,.$

Dosazením do vzorců dostáváme:

$V={\frac {\pi v^{2}}{3}}\left({\frac {3\rho ^{2}+3v^{2}}{2v}}-v\right)={\frac {1}{6}}\pi v(3\rho ^{2}+v^{2})\,,$

$S=2\pi {\frac {(\rho ^{2}+v^{2})}{2v}}v=\pi (\rho ^{2}+v^{2})\,.$

Odvození objemu a plochy povrchu pomocí infinitezimálního počtu

Otáčení zelené oblasti vytváří kulovou čepičku s výškou $h$ a poloměr koule $r$ .

Vzorce objemu a plochy mohou být odvozeny zkoumáním rotace funkce

$f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}$

for $x\in [0,v]$, použijeme vztah výpočtu plochy pomocí určitého integrálu a pro výpočet objemu tělesa také za pomocí určitého integrálu.

Výpočet plochy je

$S=2\pi \int _{0}^{v}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx$

Derivací funkce f je:

$f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

a odtud

$1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}$

Vzorec pro tuto oblast je tedy

$S=2\pi \int _{0}^{v}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{v}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{v}=2\pi rv$

Objem je

$V=\pi \int _{0}^{v}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{v}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{v}={\frac {\pi v^{2}}{3}}(3r-v)$

Aplikace

Objem průniku dvou protínajících se koulí

Objem průniku dvou protínajících se koulí poloměrů $r_{1}$ a $r_{2}$ je

$V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,$

kde

$V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}$

je součet objemů obou izolovaných koulí a

$V^{(2)}={\frac {\pi v_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-v_{1})+{\frac {\pi v_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-v_{2})$

je součet objemů dvou úsečí protínající se koulí. Kde $d\leq r_{1}+r_{2}$ je vzdálenost středů koulí, s odečtením dvou proměnných $v_{1}$ a $v_{2}$ vede na

$V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.$

Plocha ohraničená dvěma podstavami kulové vrstvy

Zakřivená plocha kulové vrstvy ohraničená dvěma rovnoběžnými disky je rozdílem povrchových ploch jejich příslušných kulových vrchlíků. Pro oblast poloměru $r$ a čepice s výškami $v_{1}$ a $v_{2}$, oblast je

$S=2\pi r|v_{1}-v_{2}|\,,$

nebo při užití zeměpisné polohy se souřadnicemi $\phi _{1}$ and $\phi _{2}$,

$S=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,$

Například, Země je koule s poloměrem 6371 km, plocha arktické oblasti (severní arktické oblasti, od souřadnice 66.56° v srpnu 2016) je 2π·6371²|sin 90° − sin 66.56°| = 21.04 mil. km², nebo 0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125% celkové plochy Země.

Tento vzorec lze také použít k prokázání, že polovina povrchové plochy Země leží mezi 30 ° jižní a 30 ° severní šířky ve sférické zóně, která zahrnuje všechny tropické oblasti .

Odkazy

Literatura

• Richmond, Timothy J. (1984). "Solvent accessible surface area and excluded volume in proteins: Analytical equation for overlapping spheres and implications for the hydrophobic effect". J. Mol. Biol. 178 (1): 63–89. doi:10.1016/0022-2836(84)90231-6. PMID 6548264.
• Lustig, Rolf (1986). "Geometry of four hard fused spheres in an arbitrary spatial configuration". Mol. Phys. 59 (2): 195–207. Bibcode:1986MolPh..59..195L. doi:10.1080/00268978600102011.
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula". J. Phys. Chem. 91 (15): 4121–4122. doi:10.1021/j100299a035.
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii". Mol. Phys. 62 (5): 1247–1265. Bibcode:1987MolPh..62.1247G. doi:10.1080/00268978700102951.
• Petitjean, Michel (1994). "On the analytical calculation of van der Waals surfaces and volumes: some numerical aspects". Int. J. Quantum Chem. 15 (5): 507–523. doi:10.1002/jcc.540150504.
• Grant, J. A.; Pickup, B. T. (1995). "A Gaussian description of molecular shape". J. Phys. Chem. 99 (11): 3503–3510. doi:10.1021/j100011a016.
• Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). "ARVO: A fortran package for computing the solvent accessible surface area and the excluded volume of overlapping spheres via analytic equations". Comput. Phys. Commun. 165 (1): 59–96. Bibcode:2005CoPhC.165...59B. doi:10.1016/j.cpc.2004.08.002.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Kulová úseč na Wikimedia Commons