Kruh

Kruh je rovinný geometrický útvar, omezený kružnicí. Kruh je určen svým středem S a poloměrem r: Je to množina všech bodů roviny, které mají od středu vzdálenost menší nebo rovnou poloměru.

Kruh

Základní vzorce

Grafické vyjádření vzorce pro obsah kruhu. Pokud se kruh rozdělí na velké množství tenkých výsečí a střídavě se složí tyto výseče k sobě, lze si představit, že vznikne obdélník. Jedna strana obdélníku je poloměr $r$, druhá strana je polovina obvodu kruhu $\pi r$, tím pádem obsah obdélníku vychází $S=\pi r^{2}$.

Pro poloměr

Obvod o kruhu je určen vzorcem:

$o=2\pi r\,,$

kde π označuje číslo pí, a jeho plocha S vzorcem:

$S=\pi r^{2}\,.$

Pro průměr

Pokud bychom uvažovali poloměr (rádius) r jako polovinu průměru d, tedy dosadili: $r={\frac {d}{2}}$, tak by vzorce vypadaly následovně:

pro obvod o:

$o=2{\frac {\pi d}{2}}=\pi d$

a takto pro plochu S:

$S=\pi \left({\frac {d}{2}}\right)^{2}=\pi {\frac {d^{2}}{2^{2}}}=\pi {\frac {d^{2}}{4}}$

Odvození vzorce pro plochu pomocí integrace

Obecný středový tvar rovnice kružnice se středem v počátku soustavy souřadné:

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Rovnice části kružnice v I. kvadrantu:

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

Plocha kruhu se rovná čtyřnásobku plochy vymezené osami $x$ a $y$ a částí kružnice v I. kvadrantu. Pomocí integrálního počtu tedy:

$S=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$

Použijeme substituci, $x=r\sin(\phi )$, a tedy $\mathrm {d} x=r\cos(\phi )\,\mathrm {d} \phi$:

$S=4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {r^{2}-r^{2}\sin ^{2}(\phi )}}\,r\cos(\phi )\,\mathrm {d} \phi$

Upravíme:

$S=4\int _{0}^{\pi /2}r^{2}\cos ^{2}(\phi )\,\mathrm {d} \phi =4r^{2}\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\phi )\,\mathrm {d} \phi$

Integrujeme:

$S=4r^{2}\left[{\frac {\phi }{2}}+{\frac {\sin(2\phi )}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}$

A po dosazení:

$S=4r^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\sin(\pi )}{4}}\right)=\pi r^{2}$

Další pojmy

Část kruhu vymezená dvěma průvodiči je kruhová výseč, část kruhu omezená sečnou je kruhová úseč. Plocha vymezená dvěma soustřednými kružnicemi o nestejném poloměru je mezikruží.

Kvadratura kruhu

Podrobnější informace naleznete v článku kvadratura kruhu.

Kvadratura kruhu je konstrukční úloha: sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu pouze pomocí pravítka a kružítka. Tato úloha obecně nemá řešení, přibližná řešení byla ovšem známa už ve starověku.

Naproti tomu Tarského problém kvadratury kruhu je úloha rozdělit daný kruh na konečně mnoho kousků a složit z těchto kousků čtverec o stejném obsahu. S použitím axiomu výběru je tato úloha řešitelná, ovšem nikoliv prakticky. Kousky jsou neměřitelné množiny, které nelze realizovat hmotou složenou z částic. Navíc řešení, které nalezl Laczkovich, vyžaduje $10^{50}$ kousků.

Třírozměrné tvary, jejichž průsečíky s některými rovinami dávají kruhy, jsou koule, sféroidy, válce a kužely.

Odkazy

Související články

• Kružnice
• Mezikruží
• Kvadratura kruhu
• Malfattiho kruhy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kruh na Wikimedia Commons
• Téma Kruh ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo kruh ve Wikislovníku
• (anglicky) Vzorce pro kruh a kružnici na Geometry Atlas.
• Interaktivní applety Java Vlastnosti a jednoduché konstrukce kruhu a kružnice.

Autoritní data	NKC: ph156662 GND: 4406111-0

Portály: Matematika