Kritéria konvergence řad

matematický test

Kritéria konvergence jsou v matematice metody testování konvergence, podmíněné konvergence, absolutní konvergence, intervalové konvergence nebo divergence nekonečných řad .

Kritéria konvergence

editovat

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady   jejím  -tým částečným součtem  . U konvergentních řad se chyba  , které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím   zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritérium

editovat

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy  , přičemž pro všechna   platí  . Řadu   označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě   a řadu   jako majorantní řadu (majorantu) k řadě  . Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn.  , konverguje také minoranta, tedy  . Diverguje-li minoranta  , diverguje také majoranta, tedy  .

Podílové kritérium

editovat

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy   tehdy, existuje-li reálné číslo   takové, že pro každé   platí  . Pokud je  , pak řada diverguje.

Limitní podílové kritérium

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy   veličinu  , pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada   konvergentní pro  , divergentní pro   a pro   může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritérium

editovat

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy   konverguje, pokud existuje reálné číslo   a pro každé   platí  . Pro případ   řada diverguje.

Limitní odmocninové kritérium

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Cauchyovo limitní odmocninové kritérium.

Pokud pro řadu s kladnými členy   zavedeme  , pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro  , divergentní pro   a pro   může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritérium

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy   konvergentní tehdy, pokud existuje takové   a takové přirozené číslo  , že pro všechna   platí  .

Jestliže existuje   takové, že pro všechna   platí  , pak řada   diverguje.

Limitní Raabeovo kritérium

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Jestliže pro řadu s kladnými členy   zavedeme  , pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro  , diverguje pro   a pro   může konvergovat i divergovat.

Integrální kritérium

editovat

Nechť   je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako  . Pokud ve funkci   nahradíme diskrétní proměnnou   spojitou proměnnou  , přičemž   bude spojitou a klesající funkcí na intervalu  , pak podle tzv. integrálního kritéria je řada   konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál  . Pokud integrál   diverguje, pak diverguje také řada  .

Leibnizovo kritérium

editovat

Pro alternující řady, které zapíšeme jako  , kde  , lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje   takové, že   (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň  .

Gaussovo kritérium

editovat

[1]Nechť   je kladná posloupnost, pro niž existují  , kladné   a omezená posloupnost   taková, že pro všechny   platí:

 
  • Když   nebo když   a  , pak řada   konverguje.
  • Když   nebo když   a  , pak řada   diverguje.

Dirichletovo kritérium

editovat

Nechť   je reálná posloupnost a   komplexní posloupnost, pro které platí:

  •   je od jistého indexu monotonní a  ;
  •   má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada   konverguje.

Abelovo kritérium

editovat

Nechť   je reálná posloupnost a   komplexní posloupnost, pro které platí:

  •   je monotonní a omezená;
  •   je konvergentní řada.

Pak řada   konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Příklady

editovat

Uvažujme řadu

 

Z Cauchyova kondenzačního testu vyplývá, že (*) je konečně konvergentní, jestliže

 

je konečně konvergentní. Protože

 

(**) je geometrická řada s kvocientem  . (**) je konečně konvergentní, jestliže její kvocient je menší než jedna (jmenovitě  ). Tedy (*) je konečně konvergentní právě tehdy, když  .

Konvergence součinů

editovat

Většina testů sice zkoumá konvergenci nekonečných řad, ale mohou být také použity pro zjištění konvergence nebo divergence nekonečných součinů. Toho lze dosáhnout použitím následující věty: Nechť   je posloupnost kladných čísel. Pak nekonečný součin   konverguje právě tehdy, když konverguje řada  . Dále obdobně, jestliže   platí, pak   se blíží nenulové limitě právě tehdy, když konverguje řada  .

Tvrzení lze dokázat aplikací funkce logaritmus na součin a použitím věty o porovnání limit.[2]

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Convergence tests na anglické Wikipedii.

  1. Springer online, Gauss criterion
  2. BELK, Jim. Convergence of Infinite Products [online]. 2008-01-26. Dostupné online. 

Související články

editovat

Literatura

editovat

Externí odkazy

editovat