Geometrické rozdělení

Geometrické rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, které vyjadřuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých bernoulliovských pokusů, tedy náhodných pokusů, jejichž výsledkem je 1 (úspěch) s pravděpodobností $p$ a 0 (neúspěch) s pravděpodobností $1-p$. Pomáhá tak odpovědět na otázky typu „kolikrát musí hráč neúspěšně hodit kostkou, než mu padne šestka?“ nebo „jak pravděpodobné je, že člověk desetkrát vsadí stejný tiket v loterii, a nic nevyhraje?“ Někdy se pod názvem geometrické rozdělení myslí velmi podobné posunuté geometrické rozdělení, distribuce počtu nezávislých bernoulliovských pokusů potřebných k dosažení prvního úspěchu. Rozdíl mezi těmito dvěma definicemi je ten, že hodnota obvyklého geometrického rozdělení pro číslo $n$ je rovna hodnotě posunutého rozdělení pro $n+1$, distribuční funkce tedy jsou vzájemně posunuty o jednotku.

Pravděpodobnostní funkce geometrického rozdělení pro více hodnot pravděpodobnosti úspěchu: 0,8 (červená), 0,2 (modrá), 0,5 (zelená)

Vzorce

Diskrétní náhodná veličina $X$ s geometrickým rozdělením se označuje například $X\sim {\text{Geo}}(p)$ a je definována pro celočíselné hodnoty od nuly do nekonečna (u posunutého geometrického rozdělení od jedné do nekonečna).

Pravděpodobnostní funkce je

$\Pr(Y=k)=(1-p)^{k}p$

pro k = 0, 1, 2,..., jinak je rovna nule. Pro posunuté geometrické rozdělení je pravděpodobnostní funkce

$\Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p$

pro k = 1, 2, 3,..., jinak nula. Distribuční funkce je

$F(k)=1-(1-p)^{k+1},$

respektive

$F(k)=1-(1-p)^{k}$

pro posunuté geometrické rozdělení.

Střední hodnota geometrického rozdělení je

$\operatorname {E} (X)={\frac {1-p}{p}},$

případně

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}$

pro posunuté geometrické rozdělení.

Rozptyl je u běžného i posunutého geometrického rozdělení shodně

$\operatorname {D} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu geometrické rozdělení na Wikimedia Commons

Portály: Matematika