Pravděpodobnostní funkce
Pravděpodobnostní funkce (anglicky probability mass function, pmf) je funkce v teorii pravděpodobnosti a statistice, která udává pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina se přesně rovná nějaké hodnotě[1]. Pravděpodobnostní funkce je často základní prostředek pro definování diskrétního pravděpodobnostního rozdělení, a taková funkce existuje jak pro skalární tak pro vícerozměrnou náhodnou veličinu, jejíž definiční obor je diskrétní.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Discrete_probability_distrib.svg/220px-Discrete_probability_distrib.svg.png)
Pravděpodobnostní funkce se liší od hustoty pravděpodobnosti (anglicky probability density function, pdf) tím, že se týká diskrétní místo spojité náhodné veličiny jako je tomu u hustoty pravděpodobnosti; hodnoty hustoty pravděpodobnosti nejsou pravděpodobnosti jako takové: hustotu pravděpodobnosti je nutné zintegrovat, abychom získali pravděpodobnost.[2]
Formální definice
editovatPředpokládejme, že X: Ω → A ( ) je diskrétní náhodná veličina definovaná na prostoru elementárních jevů Ω. Pak pravděpodobnostní funkce fX: A → ⟨0, 1⟩ pro X je definovaná jako[3][4]
Abychom se vyhnuli chybám, můžeme uvažovat o pravděpodobnosti jako o hmotě, protože fyzická hmota je zachována stejně jako celková pravděpodobnost pro všechny hypotetické výsledky x:
Když existuje přirozené pořadí mezi hypotézami x, může být pohodlné jim přiřadit numerické hodnoty (nebo n-ticím v případě diskrétní vícerozměrné náhodné veličiny) a uvažovat také hodnoty, které nejsou v obrazu množiny X. To znamená, že funkce fX může být definovaná pro všechna reálná čísla a fX(x) = 0 pro všechna x X(Ω), jak je znázorněno na obrázku.
Protože obraz X je spočetný, pravděpodobnostní funkce fX(x) je nulová pro všechny hodnoty s výjimkou spočetného počtu hodnot x. Nespojitost pravděpodobnostní funkce plyne z faktu, že distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je také nespojitá. Pokud je derivovatelná, její derivace je nula, stejně jako pravděpodobnostní funkce je nulová ve všech takových bodech.
Příklady
editovatPředpokládejme, že Ω je prostor elementárních jevů všech výsledků jediného hodu mincí a X je náhodná veličina definovaná na Ω přiřazením 0 „orlu“ a 1 „hlavě“; jedná se o alternativní rozdělení, které je speciálním případem binomického rozdělení pro počet hodů n=1. Pokud je mince poctivá, pravděpodobnostní funkce je
Příkladem vícerozměrného diskrétního rozdělení a jeho pravděpodobnostní funkce je multinomické rozdělení.
Odkazy
editovatReference
editovatV tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability mass function na anglické Wikipedii.
- ↑ Stewart, William J. Probability, Markov Chains, Queues and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. [s.l.]: Princeton University Press, 2011. Dostupné online. ISBN 978-1-4008-3281-1.
- ↑ Pravděpodobnostní funkce Archivováno 15. 8. 2011 na Wayback Machine. v Mathworld
- ↑ Kumar, Dinesh. Reliability & Six Sigma. [s.l.]: Birkhäuser, 2006. Dostupné online. ISBN 978-0-387-30255-3.
- ↑ Rao, S.S. Engineering optimalization: theory and practice. [s.l.]: John Wiley & Sons, 1996. Dostupné online. ISBN 978-0-471-55034-1.
Související články
editovatLiteratura
editovat- Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993) Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p 36)