Cykloida je transcendentní cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kutálí) po přímce.

Cykloida generovaná valícím se kolem

Cykloida má tvar donekonečna se opakujících oblouků.

Prostá cykloida

editovat
 
Prostá cykloida

Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.

Prostou cykloidu lze vyjádřit parametricky:

 ,
 ,

kde   je poloměr kružnice a parametr   je úhel otočení kutálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v explicitním tvaru

 

pro  , resp.

 

pro  .

Perioda cykloidy je  .

Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od hrotu do bodu   pro   je

 .

Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz

 .

Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je

 .

Poloměr křivosti v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je

 ,

takže poloměr křivosti ve vrcholu je maximální:

 .

Nejjednodušší přirozená rovnice prosté cykloidy je

 

kde však oblouk   počítáme od vrcholu.

Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy   posunuta o   souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy   je posunuta o   nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

Zkrácená a prodloužená cykloida

editovat
 
Zkrácená cykloida
 
Prodloužená cykloida

Pokud bod pevně spojený s kutálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru   je  , pak pro   získáme cykloidu zkrácenou a pro   cykloidu prodlouženou.

Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru

 
 

Vlastnosti

editovat

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat