Kuratowského axiomy uzávěru

Kuratowského axiomy uzávěru je sada axiomů v topologii a příbuzných oblastech matematiky, které lze použít pro definici topologického prostoru na množině. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí otevřené množiny. Axiomy formalizoval Kazimierz Kuratowski, a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné Wacław Sierpiński a António Monteiro.

Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem operátoru vnitřku množiny.

Definice

Kuratowského operátory uzávěru a jejich zeslabení

Nechť $X$ je libovolná množina a $\wp (X)$ její potenční množina. Kuratowského operátor uzávěru je unární operace $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ s následujícími vlastnostmi:

[K1] Zachovává prázdnou množinu: $\mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing$;

[K2] je extenzivní: pro všechny $A\subseteq X$, je $A\subseteq \mathbf {c} (A)$;
[K3] je idempotentní: pro všechny $A\subseteq X$, je $\mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))$;

[K4] zachovává binární sjednocení (je vůči němu distributivní): pro všechny $A,B\subseteq X$, $\mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)$.

Důsledkem toho, že $\mathbf {c}$ zachovává binární sjednocení, je

[K4'] je monotonní: $A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)$.

Pokud rovnost v [K4] nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom [K4''] (subaditivity):

[K4''] je subaditivní: pro všechny $A,B\subseteq X$, $\mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)$,

pak je dobře vidět, že splnění axiomů [K4'] a [K4''] je ekvivalentní s [K4] (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).

Kuratowski 1966 uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny $x\in X$, $\mathbf {c} (\{x\})=\{x\}$. Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá T₁-prostory, v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně topologickým T₁-prostorům díky obvyklé korespondenci (viz níže).

Pokud vynecháme požadavek [K3], pak axiomy definují Čechův uzávěrový operátor. Pokud vynecháme [K1], pak operátor vyhovující [K2], [K3] a [K4'] se nazývá Mooreho uzávěrový operátor. Dvojici $(X,\mathbf {c} )$ nazýváme Kuratowského, Čechův nebo Mooreův prostor uzávěrů podle toho, které axiomy $\mathbf {c}$ splňuje.

Alternativní axiomatizace

Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin:

[P] Pro všechny $A,B\subseteq X$, $A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )$.

Lze dokázat, že axiomy [K1]–[K4] vyplývají z této podmínky:

1. Zvolme $A=B=\varnothing$. Pak $\varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing$nebo $\mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing$. Z toho okamžitě plyne [K1].
2. Zvolme libovolné $A\subseteq X$ a $B=\varnothing$. Pak použitím axiomu [K1], $A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)$, z čehož plyne [K2].
3. Zvolme $A=\varnothing$ a libovolné $B\subseteq X$. Pak použitím axiomu [K1], $\mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)$, což je [K3].
4. Zvolme libovolné $A,B\subseteq X$. Použitím axiomů [K1]–[K3] odvodíme [K4].

Monteiro 1945 alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy [K2]–[K4]:

[M] Pro všechny $A,B\subseteq X$, ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$.

Axiom [K1] je nezávislý na [M] : skutečně, pokud $X\neq \varnothing$, operátor $\mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)$ definovaný přiřazením konstanty $A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X$ splňuje [M] ale nezachovává prázdnou množinu, protože $\mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X$. Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující [M] je Mooreho uzávěrový operátor.

M. O. Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu [M], ze která vyplývají axiomy [K2]–[K4]:

[BT] Pro všechny $A,B\subseteq X$, ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$.

Analogické struktury

Operátory vnitřku, vnějšku a hranice

Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je Kuratowského operátor vnitřku, což je zobrazení $\mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)$ vyhovující následujícím požadavkům:

[I1] Zachovává celý prostor: $\mathbf {i} (X)=X$;

[I2] je intenzivní: pro všechny $A\subseteq X$, $\mathbf {i} (A)\subseteq A$;
[I3] je idempotentní: pro všechny $A\subseteq X$, $\mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)$;

[I4] Zachovává binární průniky: pro všechny $A,B\subseteq X$, $\mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)$.

Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou izotonní, tj. vyhovují [K4'], a díky intenzivitě [I2] je možné rovnost v [I3] oslabit na jednoduchou inkluzi.

Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného operátoru komplementu na $\wp (X)$, zobrazení $\mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)$ zobrazující $A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A$. Toto zobrazení je ortokomplementem na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje De Morganovým zákonům: pokud ${\mathcal {I}}$ je libovolná množina indexů a $\{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)$, pak

$$\mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).$$

Použitím těchto zákonů a definičních vlastností $\mathbf {n}$ můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace $\mathbf {c} :=\mathbf {nin}$ (a $\mathbf {i} :=\mathbf {ncn}$). Každý výsledek získaný pomocí $\mathbf {c}$ lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace $\mathbf {n}$ převést na výsledek používající $\mathbf {i}$.

Pervin 1964 dále popisuje analogické axiomy pro Kuratowského operátory vnějšku a Kuratowského operátory hranice, který relací $\mathbf {c} :=\mathbf {ne}$ a $\mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)$ zavádějí také Kuratowského uzávěry.

Abstraktní operátory

Podrobnější informace naleznete v článku Algebra vnitřků.

Všimněte si, že axiomy [K1]–[K4] lze upravit, aby definovaly abstraktní unární operaci $\mathbf {c} :L\to L$ na obecném omezeném svazu $(L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )$, formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy [I1]–[I4]. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici zobecněné topologie na svazu.

Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor $\mathbf {c} :S\to S$ na libovolné uspořádané množině $S$.

Spojitost s jinými axiomatizacemi topologie

Indukce topologie z uzávěru

Uzávěrový operátor přirozeně zavádí topologii takto: Nechť $X$ je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina $C\subseteq X$ je uzavřená vůči Kuratowského operátoru uzávěru $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ právě tehdy, když je pevným bodem uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je stabilní při použití operátoru $\mathbf {c}$, tj. $\mathbf {c} (C)=C$. Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám:

[T1] je omezený podsvaz $\wp (X)$, tj. $X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$;

[T2] je uzavřená vůči libovolným průnikům, tj. pokud ${\mathcal {I}}$ je libovolná množina indexů a $\{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$, pak ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T3] je uzavřená vůči konečný sjednocení, tj. pokud ${\mathcal {I}}$ je konečná množina indexů a $\{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$, pak ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

Všimněte si, že, díky idempotenci [K3], můžeme stručně psát ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )$.

Rozšířený obsah

[T1] díky extenzivitě [K2], $X\subseteq \mathbf {c} (X)$ a protože uzávěr převádí potenční množinu $X$ na sebe samu (tj. obrazem jakékoli podmnožiny je podmnožina $X$), $\mathbf {c} (X)\subseteq X$ máme $X=\mathbf {c} (X)$. Tedy $X\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$. Zachování prázdné množiny [K1] vyplývá z $\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$. [T2] nechť dále ${\mathcal {I}}$ je libovolná množina indexů a nechť $C_{i}$ je uzavřená pro každé $i\in {\mathcal {I}}$. Z extenzivity [K2], ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$. Také díky izotoničnosti [K4'], pokud ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq C_{i}}$pro všechny indexy $i\in {\mathcal {I}}$, pak ${\textstyle \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)\subseteq \mathbf {c} (C_{i})=C_{i}}$ pro všechna $i\in {\mathcal {I}}$, z čehož plyne ${\textstyle \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}$. Proto, ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$, význam ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$. [T3] Konečně nechť ${\mathcal {I}}$ je konečná množina indexů a nechť $C_{i}$ je uzavřená pro každé $i\in {\mathcal {I}}$. Ze zachování binárního sjednocení [K4] a použitím matematické indukce podle počtu podmnožin, z nichž vezmeme sjednocení, dostáváme ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$. Tedy ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

Indukce uzávěru z topologie

Opačně, je-li dána rodina $\kappa$ vyhovující axiomům [T1]–[T3], je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud $A\in \wp (X)$ a $A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ |\ A\subseteq B\}$ je horní množinou $A$ vůči inkluzi, pak

$$\mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B$$

definuje Kuratowského operátor uzávěru $\mathbf {c} _{\kappa }$ na $\wp (X)$.

Rozšířený obsah

[K1] Protože $\varnothing ^{\uparrow }=\wp (X)$, $\mathbf {c} _{\kappa }(\varnothing )$ omezuje na průnik všech množin v rodině $\kappa$; ale podle axiomu [T1] je $\varnothing \in \kappa$, takže průnik se zcvrkne na prázdnou množinu a dostáváme [K1]. [K2] Z definice $A^{\uparrow }$ plyne, že $A\subseteq B$ pro všechny $B\in \left(\kappa \cap A^{\uparrow }\right)$, a tedy $A$ musí být obsažena v průniku všech takových množin. Odtud dostáváme extenzivitu [K2]. [K3] Všimněte si, že pro všechny $A\in \wp (X)$, rodina $\mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa$ obsahuje $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ samotný jako minimální prvek vzhledem k inkluzi. Tedy ${\textstyle \mathbf {c} _{\kappa }^{2}(A)=\bigcap _{B\in \mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa }B=\mathbf {c} _{\kappa }(A)}$, což je idempotence [K3]. [K4’] Nechť $A\subseteq B\subseteq X$: pak $B^{\uparrow }\subseteq A^{\uparrow }$, a tedy $\kappa \cap B^{\uparrow }\subseteq \kappa \cap A^{\uparrow }$. Protože druhá rodina může obsahovat více prvků než první, najdeme $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(B)$, což je izotoničnost [K4']. Všimněte si, že z izotoničnost plyne $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ a $\mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$, který současně znamená $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$. [K4] Nakonec vezmeme určité $A,B\in \wp (X)$. Z axiomu [T2] plyne $\mathbf {c} _{\kappa }(A),\mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa$; navíc, axiom [T2] vyplývá, že $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa$. Díky extenzivitě [K2] máme $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in A^{\uparrow }$ a $\mathbf {c} _{\kappa }(B)\in B^{\uparrow }$, takže $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)$. Ale $\left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)=(A\cup B)^{\uparrow }$, tak, že všechno ve všech $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }$. Protože $\mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ je minimálním prvkem $\kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }$ vzhledem k inkluzi, najdeme $\mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)$. Bod 4 zajišťuje aditivita [K4].

Přesná korespondence mezi strukturami

Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na $X$, a $\mathrm {Atp} (X)$ je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících [T1]–[T3], pak ${\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)$ takový, že $\mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení ${\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }$.

Rozšířený obsah

Nejdříve dokážeme, že ${\mathfrak {C}}\circ {\mathfrak {S}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$, operátor identity na $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$. Pro daný Kuratowského uzávěr $\mathbf {c} \in \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$, definuje $\mathbf {c} ':={\mathfrak {C}}[{\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]]$; pak, pokud $A\in \wp (X)$ jeho primed uzávěr $\mathbf {c} '(A)$ je průnik všech $\mathbf {c}$-stabilní množiny, které obsahuje $A$. Jeho neprimed uzávěr $\mathbf {c} (A)$ vyhovuje tento popis: díky extenzivitě [K2] máme $A\subseteq \mathbf {c} (A)$, a díky idempotenci [K3] máme $\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))=\mathbf {c} (A)$, a tedy $\mathbf {c} (A)\in \left(A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]\right)$. Nyní nechť $C\in \left(A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]\right)$ taková, že $A\subseteq C\subseteq \mathbf {c} (A)$: z izotoničnosti [K4'] dostáváme $\mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (C)$, a protože $\mathbf {c} (C)=C$ docházíme k závěru, že $C=\mathbf {c} (A)$. Tedy $\mathbf {c} (A)$ je minimálním prvkem $A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ vzhledem k inkluzi, z čehož plyne $\mathbf {c} '(A)=\mathbf {c} (A)$. Nyní dokážeme, že ${\mathfrak {S}}\circ {\mathfrak {C}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Atp} (X)}$. Pokud $\kappa \in \mathrm {Atp} (X)$ a $\kappa ':={\mathfrak {S}}[{\mathfrak {C}}[\kappa ]]$ je rodina všech množin, které jsou stabilní vůči $\mathbf {c} _{\kappa }$, dostáváme, pokud oba $\kappa '\subseteq \kappa$ a $\kappa \subseteq \kappa '$. Nechť $A\in \kappa '$: tedy $\mathbf {c} _{\kappa }(A)=A$. Protože $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ je průnik libovolné podrodiny $\kappa$, a druhá je uzavřená vůči libovolným průnikům podle [T2], pak $A=\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in \kappa$. Opačně, pokud $A\in \kappa$, pak $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ je minimální nadmnožina $A$, která je obsažena v $\kappa$. Ale to je triviálně samotné $A$, z čehož plyne $A\in \kappa '$.

Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci ${\mathfrak {S}}$ na kolekci $\mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)$ všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$; toto rozšíření ${\overline {\mathfrak {S}}}$ je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na $X$ indukují také topologii na $X$. To však znamená, že ${\overline {\mathfrak {S}}}$ už není bijekcí.

Příklady

• Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor $X$, můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny $A\subseteq X$ jako množinu $\mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ uzavřená podmnožina }}X|A\subseteq C\}$, tj. průnik všech uzavřených množin $X$ které obsahují $A$. Množina $\mathbf {c} (A)$ je nejmenší uzavřenou množinou $X$ obsahující $A$, a operátor $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ je Kuratowského operátor uzávěru.
• Pokud $X$ je jakákoli množina, operátory $\mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\bot }:\wp (X)\to \wp (X)$ takové, že
  $$\mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),$$
  jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí indiskrétní topologii $\{\varnothing ,X\}$, zatímco druhý zavádí diskrétní topologii $\wp (X)$.

• Vezmeme libovolné $S\subsetneq X$, a nechť $\mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)$ je takové, že $\mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S$ pro všechny $A\in \wp (X)$. Pak $\mathbf {c} _{S}$ definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]$ se shoduje s $S^{\uparrow }$, rodinou všech podmnožin, které obsahují $S$. Když $S=\varnothing$, znovu získáme diskrétní topologii $\wp (X)$ (tj. $\mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }$, jak je vidět z definice).
• Pokud $\lambda$ je nekonečné kardinální číslo takové, že $\lambda \leq \operatorname {crd} (X)$, pak operátor $\mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)$ takový, že
  $$\mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatorname {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}$$
  vyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům. Pokud $\lambda =\aleph _{0}$, tento operátor zavádí kofinitní topologii na $X$; pokud $\lambda =\aleph _{1}$, pak zavádí ko-spočetnou topologii.

Vlastnosti

• Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) Galoisova korespondenci $\langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle$, za předpokladu, že chápeme $\wp (X)$jako množinu uspořádanou inkluzí, a $\mathrm {im} (\mathbf {c} )$ jako uspořádaná podmnožina $\wp (X)$. Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny $A\in \wp (X)$ a $C\in \mathrm {im} (\mathbf {c} )$, $\mathbf {c} (A)\subseteq C$ právě tehdy, když $A\subseteq \iota (C)$.
• Pokud $\{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ je podrodina $\wp (X)$, pak
  $$\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).$$
• Pokud $A,B\in \wp (X)$, pak $\mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)$.

Topologické koncepty používající uzávěr

Zjemnění a podprostory

Dvojice Kuratowského uzávěrů $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)$ takových, že $\mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)$ pro všechny $A\in \wp (X)$ indukuje topologii $\tau _{1},\tau _{2}$ takovou, že $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$, a naopak. Jinými slovy $\mathbf {c} _{1}$ dominuje $\mathbf {c} _{2}$ právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]$. Například $\mathbf {c} _{\top }$ jasně dominuje $\mathbf {c} _{\bot }$( druhý pouze je identity na $\wp (X)$). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí $\tau _{i}$ s rodinou $\kappa _{i}$ obsahující komplementy všech členů, pokud je na $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ definováno částečné uspořádání $\mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)$ pro všechny $A\in \wp (X)$ a $\mathrm {Atp} (X)$ je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že ${\mathfrak {S}}$ je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.

V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na A: $\mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)$, pro všechny $B\subseteq A$.

Spojitá zobrazení, uzavřená zobrazení a homeomorfismy

Funkce $f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')$ je spojitá v bodě $p$ právě tehdy, když $p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))$, a všude spojitá právě tehdy, když

$$f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))$$

pro všechny podmnožiny $A\in \wp (X)$. Zobrazení $f$ je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze, a je homeomorfismem právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. právě tehdy, když platí rovnost.

Oddělovací axiomy

Nechť $(X,\mathbf {c} )$ je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak

• $X$ je T₀-prostor právě tehdy, když z $x\neq y$ plyne $\mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})$;
• $X$ je T₁-prostor právě tehdy, když $\mathbf {c} (\{x\})=\{x\}$ pro všechny $x\in X$;
• $X$ je T₂-prostor právě tehdy, když z $x\neq y$ vyplývá, že existuje množina $A\in \wp (X)$ taková, že $x\notin \mathbf {c} (A)$ a zároveň $y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))$, kde $\mathbf {n}$ je operátor množinového doplňku.

Blízkost a oddělenost

Bod $p$ je blízký k podmnožině $A$, pokud $p\in \mathbf {c} (A).$ To lze použít pro definici relace proximity pro body a podmnožiny dané množiny.

Dvě množiny $A,B\in \wp (X)$ jsou oddělené právě tehdy, když $(A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing$. Prostor $X$ je souvislý právě tehdy, když jej nelze zapsat jako sjednocení dvou oddělených podmnožin.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kuratowski closure axioms na anglické Wikipedii.

• KURATOWSKI, Kazimierz. Sur l'opération A de l'Analysis Situs. [s.l.]: [s.n.] Dostupné online. S. 182–199. (francouzsky) 
• KURATOWSKI, Kazimierz, 1966. Topology. [s.l.]: Academic Press. Dostupné online. ISBN 0-12-429201-1. 
• PERVIN, William J., 1964. Foundations of General Topology. [s.l.]: Academic Press. Dostupné online. ISBN 9781483225159. 
• ARKHANGEL'SKIJ, A.V.; FEDORCHUK, V.V. General Topology I. Berlin: Springer-Verlag (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). ISBN 978-3-642-64767-3. 
• MONTEIRO, António. Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome. [s.l.]: [s.n.], September 1943. Dostupné online. S. 158–160. (francouzsky) 

Související články

• Topologický prostor

Externí odkazy

• Alternativní charakterizace topologických prostorů