Ať X a Y jsou množiny. Ať
A
:
P
(
X
)
⟶
P
(
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}:{\mathcal {P}}(X)\longrightarrow {\mathcal {P}}(Y)}
B
:
P
(
Y
)
⟶
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}:{\mathcal {P}}(Y)\longrightarrow {\mathcal {P}}(X)}
(
A
,
B
)
{\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}
Galoisovou koresponencí , platí-li:
A
1
⊆
A
2
∈
P
(
X
)
⇒
A
(
A
1
)
⊇
A
(
A
2
)
,
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\in {\mathcal {P}}(X)\Rightarrow {\mathcal {A}}(A_{1})\supseteq {\mathcal {A}}(A_{2}),}
B
1
⊆
B
2
∈
P
(
Y
)
⇒
B
(
B
1
)
⊇
B
(
B
2
)
,
{\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\in {\mathcal {P}}(Y)\Rightarrow {\mathcal {B}}(B_{1})\supseteq {\mathcal {B}}(B_{2}),}
B
A
(
A
)
⊇
A
{\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {A}}(A)\supseteq A}
∀
A
∈
X
,
{\displaystyle \forall A\in X,}
A
B
(
B
)
⊇
B
{\displaystyle {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(B)\supseteq B}
∀
B
∈
Y
.
{\displaystyle \forall B\in Y.}
Někdy se definuje Galoisova korespondence alternativně následujícím způsobem:
Buď
ϕ
⊆
X
×
Y
{\displaystyle \phi \subseteq X\times Y}
zobrazení
P
(
X
)
⟶
P
(
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\longrightarrow {\mathcal {P}}(Y)}
A
⟼
A
→
=
{
b
∈
Y
|
(
a
,
b
)
∈
ϕ
,
∀
a
∈
A
}
{\displaystyle A\longmapsto A^{\rightarrow }=\lbrace b\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall a\in A\rbrace }
B
⟼
B
←
=
{
a
∈
Y
|
(
a
,
b
)
∈
ϕ
,
∀
b
∈
B
}
{\displaystyle B\longmapsto B^{\leftarrow }=\lbrace a\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall b\in B\rbrace }
Podotýkáme, že v anglické literatuře je pojem Galoisova korespondence [ujasnit vymezen pro pár vzájemně bijektivních zobrazení , zatímco Galoisově korespondenci v širším smyslu odpovídá pojem Galois connection.
Je-li
(
A
,
B
)
{\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}
X a Y , pak platí:
A
B
A
(
A
)
=
A
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}{\mathcal {A}}(A)={\mathcal {A}}(A)}
∀
A
∈
X
,
{\displaystyle \forall A\in X,}
B
A
B
(
B
)
=
B
(
B
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(B)={\mathcal {B}}(B)}
∀
B
∈
Y
.
{\displaystyle \forall B\in Y.}
Složená zobrazení
B
A
{\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {A}}}
A
B
{\displaystyle {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}}
X a Y .
Galoisova korespondence poskytuje vzájemně inverzní bijekce
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
X
=
{
A
(
A
)
|
A
∈
X
}
{\displaystyle {\mathcal {X}}=\lbrace {\mathcal {A}}(A)|A\in X\rbrace }
Y
=
{
B
(
B
)
|
B
∈
Y
}
{\displaystyle {\mathcal {Y}}=\lbrace {\mathcal {B}}(B)|B\in Y\rbrace }
Algebraická geometrie
editovat
Korespondence
(
I
,
V
)
{\displaystyle (\mathbb {I} ,\mathbb {V} )}
algebraickými množinami , tj. podmnožinami
A
n
=
K
×
K
×
.
.
.
×
K
,
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}=K\times K\times ...\times K,}
K
{\displaystyle K}
okruhu polynomů
K
[
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
]
{\displaystyle K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}
I
(
X
)
=
{
p
∈
K
[
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
]
|
p
(
a
)
=
0
,
∀
a
∈
X
}
,
{\displaystyle \mathbb {I} (X)=\lbrace p\in K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]|p(a)=0,\forall a\in X\rbrace ,}
V
(
S
)
=
{
a
∈
A
n
|
p
(
a
)
=
0
,
∀
p
∈
S
}
,
{\displaystyle \mathbb {V} (S)=\lbrace a\in \mathbb {A} ^{n}|p(a)=0,\forall p\in S\rbrace ,}
S touto Galoisovou korespondencí je těsně spjatá Hilbertova věta o nulách .
Univerzální algebra
editovat
V univerzální algebře se vyskytuje několik důležitých Galoisovych korespondencí:
Nechť
A
l
g
{\displaystyle Alg}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
algeber ,
E
q
{\displaystyle Eq}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
ϕ
⊆
A
l
g
×
E
q
{\displaystyle \phi \subseteq Alg\times Eq}
(
A
_
,
s
≈
t
)
↔
A
_
⊨
s
≈
t
{\displaystyle ({\underline {A}},s\approx t)\leftrightarrow {\underline {A}}\models s\approx t}
K
↦
I
d
(
K
)
{\displaystyle {\mathcal {K}}\mapsto Id({\mathcal {K}})}
E
↦
M
o
d
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}\mapsto Mod({\mathcal {E}})}
K
∈
A
l
g
{\displaystyle {\mathcal {K}}\in Alg}
E
∈
E
q
{\displaystyle {\mathcal {E}}\in Eq}
ϕ
{\displaystyle \phi }
Máme-li nějakou množinu
A
{\displaystyle A}
O
p
(
A
)
{\displaystyle Op(A)}
A
{\displaystyle A}
R
e
l
(
A
)
{\displaystyle Rel(A)}
A
{\displaystyle A}
ϕ
⊆
O
p
×
R
e
l
{\displaystyle \phi \subseteq Op\times Rel}
(
f
,
R
)
⇔
{\displaystyle (f,R)\Leftrightarrow }
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle R}
F
∈
O
p
(
A
)
{\displaystyle F\in Op(A)}
invariantem F a značíme
I
n
v
(
F
)
{\displaystyle Inv(F)}
Θ
∈
R
e
l
(
A
)
{\displaystyle \Theta \in Rel(A)}
polymorfismy
Θ
{\displaystyle \Theta }
P
o
l
(
Θ
)
{\displaystyle Pol(\Theta )}
Bergman C.: Universal algebra. Fundamentals and Selected Topics , CRC press, 2012.
Fulton W.: Algebraic Curves , Addison-Wesley, 1989. 
![{\displaystyle K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc14517eaa87774d306afbc76a38348c8ac970e)
![{\displaystyle \mathbb {I} (X)=\lbrace p\in K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]|p(a)=0,\forall a\in X\rbrace ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c551d5d9f1d59c6c19869f192b8be1cb50641d6)
