Wienerův filtr

Wienerův filtr byl navržen tak, aby dokázal zpětně rekonstruovat obrázek, který byl poničen šumem nebo špatnou impulzní odezvou snímacího zařízení. Tato problematika je popsána v článku o rekonstrukci a předzpracování obrazu. Opět jde o to vyřešit tzv. radiometrický inverzní problém, tedy vyjádřit z následující rovnice proměnou $u(x,y)\,$, což je požadovaný obrázek ještě před deformací špatným fotoaparátem nebo šumem.

$z(x,y)=(u*h)(x,y)+n(x,y)\,$

$h(x,y)\,$ značí impulzní odezvu snímacího zařízení a $n(x,y)\,$ přidaný šum

Požadavky kladené na filtr

Jak je zřejmé z prvního matematického vztahu, Wienerův filtr má za úkol spočítat inverzní konvoluci za přítomnosti nenulového šumu. Problém inverzní konvoluce řeší i inverzní filtr, ale jeho korektní funkčnost je omezena jen na obrázky bez šumu. K odvození Wienerova filtru vedly následující dva předpoklady:

• $E(\|f'(x,y)-f_{i}(x,y)\|^{2})\,$ → minimální

tedy, že střední hodnota druhé mocniny přes všechny realizace šumu a pro jejich všechny parametry bude mít od hledaného obrázku minimální vzdálenost. $f_{i}(x,y)\,$ značí hledaný obrázek se všemi známými realizacemi šumu a jejich parametry, $f'(x,y)\,$ značí náš obrázek před deformací šumem. Jak patrné z prvního kritéria, tak metoda vychází z empirických znalostí šumů a pravděpodobnosti jejich rozdělení v obrázku. Druhý požadavek na Wienerův filtr je, aby byl lineární. Tento požadavek se formuluje pro frekvenční oblasti obrázků. Tedy nechť ${\mathcal {F}}(f')=F\,$ je Fourierova transformace původní obraz, tak jak vypadá bez šumu. ${\mathcal {F}}(g)=G\,$ je zašuměný obrázek, který má být opraven a $R\,$ je nějaká transformační matice, jež násobením transformuje poškozený obrázek do jeho "opravené" varianty. Zmiňovaná linearita filtru má tedy tvar (parametry funkcí $(u,v)\,$ označují souřadnice ve frekvenční (Fourierově) oblasti):

• ${\mathcal {F}}(f')(u,v)={\mathcal {F}}(g)(u,v)\cdot R(u,v)\,$  →  $F'(u,v)=G(u,v)\cdot R(u,v)$

Vzorec filtru a jeho parametrizace

Z předchozích požadavků byl odvozen následující filtr, který po vynásobení (jedná se o násobení matic po prvcích) s maticí poničeného obrázku dá rekonstruovaný obraz:

$R(u,v)={\frac {1}{H(u,v)}}\cdot {\frac {|H(u,v)|^{2}}{|H(u,v)|^{2}+S_{n}(u,v)/S_{f}(u,v)}}\,$

V tomto vzorci $H(u,v)\,$ značí Fourierův obraz impulzní odezvy $h(x,y)\,$ a podíl $S_{n}(u,v)/S_{f}(u,v)\,$ je jiný zápis tzv. poměr signálu a šumu (SNR), což nám určuje míru zašumění obrázku. Vidíme, že tento výraz obecně závisí na parametrech frekvence $(u,v)\,$. Ale za předpokladu bílého šumu můžeme $S_{n}(u,v)\,$ psát jako rozptyl šumu $\sigma _{n}^{2}\,$ (což je konstanta v celém obrázku), dále budeme předpokládat nekorelovanost obrázku (což v reálu neplatí, ale jako přiblížení se dá použít) a můžeme tedy $S_{f}(u,v)\,$ aproximovat rozptylem obrázku $\sigma _{f}^{2}\,$. (Rozptyly jsou vlastně odhady energie šumu a energie obrázku). Z tohoto přiblížení nám vyjde, že podíl $S_{n}(u,v)/S_{f}(u,v)\,$ máme roven konstantně (číslu) $\sigma _{n}^{2}/\sigma _{f}^{2}\,$. V praxi to znamená, že za tento podíl dosazujeme různá čísla (např. od 0.001 do 1000) a koukáme, co nám dá nejlepší výsledek. Když Wienerův filtr aplikujeme na nezašuměný obrázek (tedy $S_{n}(u,v)\,$ bude rovno nule), pak nám tento filtr $R(u,v)\,$ přechází v $R(u,v)={\frac {1}{H(u,v)}}\,$, což je předpis pro inverzní filtr.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Wienerův filtr na Wikimedia Commons