Věta o dimenzích jádra a obrazu

Věta o dimenzích jádra a obrazu též zvaná věta o hodnosti a defektu či věta o hodnosti a nulitě je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí jistých podprostorů vektorového prostoru.

Větu lze zformulovat pro lineární zobrazení:

• je-li dimenze definičního oboru libovolného lineárního zobrazení konečná, potom je rovna součtu dimenze jeho jádra a dimenze jeho oboru hodnot;

a analogicky i pro matice:

• počet sloupců libovolné matice je roven součtu její hodnosti a její nulity.

V důsledku pak platí, že lineární zobrazení mezi vektorovými prostory stejné konečné dimenze je izomorfismem, právě když je prosté (injektivní) nebo je na (surjektivní).

Obraz a jádro lineárního zobrazení $f$ z prostoru $V$ do prostoru $W$.

Formální znění

Pro lineární zobrazení

Nechť $f:V\to W$ je lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory, kde prostor $V$ má konečnou dimenzi. Pak platí:

$\dim f(V)+\dim \operatorname {ker} f=\dim V$,

kde $\operatorname {ker} (f)$ značí jádro zobrazení $f$ a symbol $f(V)$ značí podprostor prostoru $W$ shodný s oborem hodnot zobrazení $f$.

Pro matice

Lineární zobrazení mezi prostory konečné dimenze lze reprezentovat maticemi. Matice ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ nad tělesem $T$ odpovídá lineárnímu zobrazení $f:T^{n}\to T^{m}$ danému předpisem $f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {Ax}}$. Obráceně, ke každému lineárnímu zobrazení $f:T^{n}\to T^{m}$ lze nalézt matici ${\boldsymbol {A}}$, aby platilo totéž.

Dimenze definičního oboru zobrazení $f$ je $n$, což je počet sloupců matice ${\boldsymbol {A}}$ a věta o hodnosti a nulitě pro matici ${\boldsymbol {A}}$ odpovídá vzathu:

$\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}+\dim \operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=n$.

Verze pro lineární zobrazení je obecnější ve dvou ohledech: prostory $V$ a $W$ nemusí být aritmetické $T^{n}$, resp. $T^{m}$, a dokonce ani dimenze cílového prostoru nemusí $W$ být konečná.

Navzdory tomu z maticové verze vyplývá i obecnější verze pro zobrazení, protože obor hodnot $f(V)$ je ve $W$ podprostorem konečné dimenze. Pro $V$ i $f(V)$ lze volbou libovolných bází získat podprostory izomorfní $T^{n}$ a $T^{m}$, a pak zobrazení $f$ reprezentovat maticí ${\boldsymbol {A}}$. Volba báze prostoru $V$ udává i izomorfismus mezi jádry $\ker f$ a $\ker {\boldsymbol {A}}$, a proto obě jádra mají stejnou dimezi. Vztah vyslovený pro matice se pak přenese i na lineární zobrazení.

Ukázka

Kolmá projekce třírozměrného eukleidovského prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ do roviny dané prvními dvěma osami je lineární zobrazení z prostoru dimenze 3, jehož obor hodnot je dvoudimezionální rovina. Jádrem zobrazení je přímka shodná se třetí osou, čili podprostor dimenze 1.

Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:

$\dim f(\mathbb {R} ^{3})+\dim \operatorname {ker} f=2+1=3=\dim \mathbb {R} ^{3}$.

Zmíněnému zobrazení $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ odpovídá matice

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}$

Jádro matice tvoří všechny skalární násobky vektoru $(0,0,1)^{\mathrm {T} }$, což je podprostor prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ dimenze 1.

Maticová verze věty odpovídá rovnosti:

$\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}+\dim \operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=2+1=3$,

přičemž na pravé straně vychází počet sloupců matice ${\boldsymbol {A}}$.

Důkazy

Neformální argument pomocí řešení soustav

Hodnost matice ${\boldsymbol {A}}$ je rovna počtu lineárně nezávislých sloupců. Její jádro je tvořeno množinou řešení homogenní soustavy lineárních rovnic ${\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}$.

Z vypočtu hodnosti i z řešení Gaussovou eliminací vyplývá, že hodnost odpovídá počtu bázických proměnných, zatímco dimenze jádra počtu volných proměnných. Každá proměnná odpovídá jednomu sloupci matice.

Platnost věty pak vyplývá z jednoduchého argumentu, že celkový počet bázických a volných proměnných je roven počtu sloupců dané matice.

Konstrukce bází

Nechť $V,W$ jsou vektorové prostory nad nějakým tělesem $T$, kde $\dim V=n$, a nechť $f$ je lineární zobrazení z $V$ do $W$.

Protože $\operatorname {ker} f$ je podprostorem prostoru $V$, má nějakou bázi $\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\}$, kde $k=\dim \operatorname {ker} f$.

Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů $\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\}$ o celkem $n-k$ lineárně nezávislých vektorů ${\boldsymbol {v}}_{k+1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}$ na bázi prostoru $V$.

Zbývá ověřit, že množina $\{f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})\}$ je jednou z možných bází prostoru $f(V)$.

Pro libovolný vektor ${\boldsymbol {w}}\in f(V)$ existuje alespoň jeden vektor ${\boldsymbol {u}}\in V$ takový, že $f({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {w}}$. Vektor ${\boldsymbol {u}}$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze $\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$ s koeficienty $a_{1},\dots ,a_{n}$:

${\boldsymbol {u}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}$

Protože $f$ je lineární zobrazení, lze libovolně zvolený vektor ${\boldsymbol {w}}$ vyjádřit výrazem:

${\boldsymbol {w}}=f({\boldsymbol {u}})=f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})=\sum _{i=1}^{k}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})+\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})=\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})$,

a tak vektory $f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})$ generují prostor $f(V)$.

Při eliminaci první ze sum byl využit předpoklad, že vektory ${\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}$ tvoří bázi jádra $\operatorname {ker} f$:

$\sum _{i=1}^{k}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})=\sum _{i=1}^{k}a_{i}{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}$

V hypotetické situaci, kdyby vektory $f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})$ netvořily bázi a byly tudíž lineárně závislé, bylo by možné najít koeficienty $b_{k+1},\dots ,b_{n}$ netriviální lineární kombinace takové, že:

$\sum _{i=k+1}^{n}b_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})={\boldsymbol {0}}$

Potom by vektor ${\boldsymbol {u}}$, daný výrazem ${\boldsymbol {u}}=\sum _{i=k+1}^{n}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}$, byl netriviálním prvkem jádra, protože:

$f({\boldsymbol {u}})=f\left(\sum _{i=k+1}^{n}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}\right)=\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})={\boldsymbol {0}}$

Ovšem ${\boldsymbol {u}}$ bybylo možné vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze jádra ${\boldsymbol {u}}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}$. V důsledku by vektory ${\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}$ netvořily bázi prostoru $V$, protože by byly lineárně závislé, jak dokládá lineární kombinace:

$\sum _{i=1}^{k}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}={\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$

Proto zkoumaný předpoklad, že by vektory $f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})$ byly lineárně závislé, je sporný a ony jsou ve skutečnosti lineárně nezávislé a tudíž tvoří bázi prostoru $f(V)$.

Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:

$\dim f(V)+\dim \operatorname {ker} f=(n-k)+k=n=\dim V$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rank–nullity theorem na anglické Wikipedii.

Literatura

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Vektorový prostor
• Lineární zobrazení
• Matice
• Soustava lineárních rovnic

Portály: Matematika