Tupperův vzorec

Tupperův vzorec je nerovnost definovaná Jeffem Tupperem. Množina bodů, které splňují nerovnost, vykreslená v rovině (resp. v konkrétním intervalu roviny) tvoří text obsahující nerovnost samu.

Vzorec

Vzorec byl poprvé publikován v příspěvku na konferenci SIGGRAPH (Special Interest Group on GRAPHics and Interactive Techniques) 2001, který se zabýval softwarem GrafEq pro vizualizaci matematických funkcí, nerovností, atp.

Tupperův vzorec je nerovnost:

{1 \over 2}<\left\lfloor \mathrm {mod} \left(\left\lfloor {y \over 17}\right\rfloor 2^{-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} (\lfloor y\rfloor ,17)},2\right)\right\rfloor

kde $\lfloor \cdot \rfloor$ značí celou část čísla a mod značí zbytek po dělení.

Uvažujme interval roviny $(x,y)\in \langle 0,106)\times \langle k,k+17)$ , kde konstanta $k$ je rovna pětisetčtyřiačtyřicetimístnému číslu:

48584506361897134235820959624942020445814005879832445494830930850619
34704708809928450644769865524364849997247024915119110411605739177407
85691975432657185544205721044573588368182982375413963433822519945219
16512843483329051311931999535024137587652392648746133949068701305622
95813219481113685339535565290850023875092856892694555974281546386510
73004910672305893358605254409666435126534936364395712556569593681518
43348576052669401612512669514215505395545191537854575257565907405401
57929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300

Množina bodů splňující Tupperovu nerovnost je na následujícím obrázku znázorněna modrou barvou:

(Osy na obrázku jsou popsány hodnotami vycházejícími z původního Tupperova článku, kde je použita jiná konstanta $k$ . Tato původní Tupperova konstanta vytvoří obrázek převrácený vodorovně i svisle.)

Vysvětlení

Bližším ohledáním vzorce snadno zjistíme, že exponent $-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} (\lfloor y\rfloor ,17)$ nabývá pouze celočíselných hodnot $0,-1,-2,\ldots ,-17\cdot 106+1$ . Každé z těchto hodnot přitom nabývá pouze v jediném podintervalu. Hodnoty $0$ nabývá exponent v levém spodním rohu obrázku, hodnoty $1$ v intervalu bezprostředně nad ním, a tak dále. Tedy, pixely v prvním sloupci obrázku odpovídají hodnotám exponentu $0,\ldots ,-16$ . Nejmenší hodnoty $-1801=-17\cdot 106+1$ exponent nabývá v pravém horním rohu obrázku.

Snadno ověříme, že číslo $k$ je dělitelné číslem $17$ beze zbytku, tedy

\left\lfloor {y \over 17}\right\rfloor ={k \over 17}

pro všechna $y\in \langle k,k+17)$ . Pravá strana nerovnosti tak v principu převádí číslo $k/17$ do dvojkové soustavy, je tedy pro každou konkrétní dvojici $(x,y)$ rovna buď $0$ nebo $1$ .

Je zřejmé, že libovolný černobílý obrázek šířky $w$ a výšky $h$ pixelů, jde stejným způsobem zapsat jako binární číslo (po sloupcích; levý spodní pixel bude stát na pozici jednotek ve dvojkovém zápisu). Po převodu do desítkové soustavy a vynásobení číslem $h$ bude představovat konstantu $k$ . Tupperův vzorec (s číslem $17$ zaměněným za číslo $h$ a pozměněnými intervaly pro $x$ a $y$ ) pak z konstanty $k$ dekóduje původní obrázek.

Konkrétních příkladů jako je Tupperův vzorec tedy lze zkonstruovat libovolně mnoho.

Tupperův vzorec je často uváděn jako příklad autoreference, kterým ale v pravém slova smyslu není. Nejpodstatnější část vzorce zajišťující, že grafem nerovnosti je předpis nerovnosti samotné, je informace zakódovaná v konstantě $k$ , která ovšem není předmětem autoreferenčního vztahu.

Reference

Tupper, Jeff: „Reliable Two-Dimensional Graphing Methods for Mathematical Formulae with Two Free Variables“, https://web.archive.org/web/20120205073038/http://www.dgp.toronto.edu/people/mooncake/papers/SIGGRAPH2001_Tupper.pdf
Weisstein, Eric W. „Tupper's Self-Referential Formula“, From MathWorld—A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/TuppersSelf-ReferentialFormula.html
Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Natick, MA: A. K. Peters, p. 289, 2006. https://web.archive.org/web/20070202172917/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/hyper-ema.pdf
„Self-Answering Problems“, Math. Horizons 13, No. 4, 19, Apr. 2005
Wagon, S.: Problem 14 in http://stanwagon.com/wagon/Misc/bestpuzzles.html Archivováno 2. 2. 2007 na Wayback Machine.

Externí odkazy

Oficiální stránka Jeffa Tuppera
TupperPlot, implementace v JavaScriptu