Tato metoda se používá, když se zjednodušuje elektrický obvod. Jedná se především o obvod, kde jsou dvojice sériově zapojených rezistorů R1+R2, a R3+R4 zapojeny paralelně, tady (R1+R2)||(R3+R4). Tento obvod je standardním zjednodušováním řešitelný, avšak transfigurace přichází ve chvíli, kdy jsou uzly mezi rezistory R1-R2 a R3-R4 spojeny dalším rezistorem R5. Tímto se celý obvod komplikuje, neboť tímto rezistorem protéká proud , který převádí proud z horních rezistorů (podle toho, který je menší) na druhou stranu (opět k menšímu).
Při detailním pohledu vznikly dva trojúhelníky , první tvořen rezistory R1 R3 R5, druhý R5 R2 R4. Cíl je tedy převést tento obvod zvaný trojúhelník na hvězdu , tvořenou rezistory Ra, Rb, Rc, R2 a R4. Tedy Rb a R2 jsou sériově, Rc a R4 také, tyto dvě dvojice jsou paralelně, a k tomuto "obdélníku" je sériově Ra. Zapsáno zjednodušeně pak ((Rb+R2)||(Rb+R4))+Ra. Zde tedy vznikla třícípá hvězda, tvořená rezistory Ra, Rb a Rc, která má střed v uzlu všech těchto tří rezistorů.
Tento obvod je řešitelný, avšak pouze za předpokladu, že známe hodnoty rezistorů Ra, Rb a Rc. Hodnoty těchto rezistorů byly odvozeny na základě toho, že jak trojúhelník, tak hvězda mají společné vrcholy (vrcholy cípů). Lze je pracovně nazvat A, B a C podle jejich rezistorů. Vezme-li se rezistor mezi svorkami A a B (sériová kombinace Ra a Rb), pak v trojúhelníku to odpovídá rezistoru R1 a k němu paralelně R3+R5. Pak tedy
R
a
+
R
b
=
R
1
|
|
(
R
2
+
R
5
)
=
R
1
∗
(
R
5
+
R
2
)
R
1
+
(
R
5
+
R
2
)
{\displaystyle Ra+Rb=R1||(R2+R5)={\frac {R1*(R5+R2)}{R1+(R5+R2)}}}
Stejným způsobem se odvodí vzorce pro zbývající sériové kombinace a úpravami se dojde k výsledným vztahům:
R
a
=
R
1
R
3
R
1
+
R
3
+
R
5
{\displaystyle Ra={\frac {R1R3}{R1+R3+R5}}}
R
b
=
R
3
R
5
R
1
+
R
3
+
R
5
{\displaystyle Rb={\frac {R3R5}{R1+R3+R5}}}
R
c
=
R
1
R
5
R
1
+
R
3
+
R
5
{\displaystyle Rc={\frac {R1R5}{R1+R3+R5}}}
Pomůcka: ve vztazích je vidět, že v čitatelích jsou součiny hodnot rezistorů dotýkajících daného uzlu a ve jmenovateli je součet všech tří hodnot rezistorů.
Transfigurace hvězda-trojúhelník se dá také řešit pomocí Théveninovy poučky (jedná se totiž o dva děliče , které si navzájem tvoří zátěž).
Ve střídavém poli je potřeba použít obecných impedancí .
Nejčastěji se používá převod z trojúhelníku (
Δ
{\displaystyle \Delta }
Y
{\displaystyle Y}
Značení při provádění transfigurace Pro transfiguraci trojúhelníku na hvězdu (
Δ
−
Y
{\displaystyle \Delta -Y}
R
A
=
R
1
⋅
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
,
{\displaystyle {R_{A}}={\frac {{R_{1}}\cdot {R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}},}
R
B
=
R
1
⋅
R
2
R
1
+
R
2
+
R
3
,
{\displaystyle {R_{B}}={\frac {{R_{1}}\cdot {R_{2}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}},}
R
C
=
R
2
⋅
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
.
{\displaystyle {R_{C}}={\frac {{R_{2}}\cdot {R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}.}
Pro transfiguraci z hvězdy na trojúhelník (
Y
−
Δ
{\displaystyle Y-\Delta }
R
1
=
R
A
+
R
B
+
R
A
⋅
R
B
R
C
,
{\displaystyle {R_{1}}={R_{A}}+{R_{B}}+{\frac {{R_{A}}\cdot {R_{B}}}{R_{C}}},}
R
2
=
R
B
+
R
C
+
R
B
⋅
R
C
R
A
,
{\displaystyle {R_{2}}={R_{B}}+{R_{C}}+{\frac {{R_{B}}\cdot {R_{C}}}{R_{A}}},}
R
3
=
R
A
+
R
C
+
R
A
⋅
R
C
R
B
.
{\displaystyle {R_{3}}={R_{A}}+{R_{C}}+{\frac {{R_{A}}\cdot {R_{C}}}{R_{B}}}.}
Celkový odpor zapojení
Y
{\displaystyle Y}
R
Y
{\displaystyle {R_{Y}}}
Δ
{\displaystyle \Delta }
R
Δ
{\displaystyle {R_{\Delta }}}
Pokud jsou obvody vyvážené, tak pro:
R
Y
=
R
1
=
R
2
=
R
3
{\displaystyle {R_{Y}}={R_{1}}={R_{2}}={R_{3}}}
R
Δ
=
R
A
=
R
B
=
R
C
{\displaystyle {R_{\Delta }}={R_{A}}={R_{B}}={R_{C}}}
R
Δ
=
3
⋅
R
Y
{\displaystyle {R_{\Delta }}=3\cdot {R_{Y}}}
R
Y
=
1
3
⋅
R
Δ
{\displaystyle {R_{Y}}={\frac {1}{3}}\cdot {R_{\Delta }}}
Odpor
R
12
{\displaystyle {R_{12}}}
A
{\displaystyle {A}}
B
{\displaystyle {B}}
R
1
{\displaystyle {R_{1}}}
R
2
{\displaystyle {R_{2}}}
R
3
{\displaystyle {R_{3}}}
R
12
=
R
1
⋅
(
R
2
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
.
{\displaystyle {R_{12}}={\frac {{R_{1}}\cdot \left({{R_{2}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}.}
Odpor
R
A
B
{\displaystyle {R_{AB}}}
A
{\displaystyle {A}}
B
{\displaystyle {B}}
R
A
{\displaystyle {R_{A}}}
R
B
{\displaystyle {R_{B}}}
R
A
B
=
R
A
+
R
B
{\displaystyle {R_{AB}}={R_{A}}+{R_{B}}}
Vzhledem k nutné rovnosti těchto odporů při provádění transfigurace vzniká rovnice:
R
1
⋅
(
R
2
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
A
+
R
B
.
{\displaystyle {\frac {{R_{1}}\cdot \left({{R_{2}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{A}}+{R_{B}}.}
Nyní lze analogicky odvodit zbylé rovnice a vytvořit tak soustavu rovnic:
R
1
⋅
(
R
2
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
A
+
R
B
,
{\displaystyle {\frac {{R_{1}}\cdot \left({{R_{2}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{A}}+{R_{B}},}
R
2
⋅
(
R
1
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
B
+
R
C
,
{\displaystyle {\frac {{R_{2}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{B}}+{R_{C}},}
R
3
⋅
(
R
1
+
R
2
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
A
+
R
C
.
{\displaystyle {\frac {{R_{3}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{2}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{A}}+{R_{C}}.}
Soustavu lze následně řešit sčítací metodou:
R
1
⋅
(
R
2
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
A
+
R
B
,
{\displaystyle {\frac {{R_{1}}\cdot \left({{R_{2}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{A}}+{R_{B}},}
−
R
2
⋅
(
R
1
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
−
R
B
−
R
C
,
{\displaystyle -{\frac {{R_{2}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}=-{R_{B}}-{R_{C}},}
R
3
⋅
(
R
1
+
R
2
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
A
+
R
C
.
{\displaystyle {\frac {{R_{3}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{2}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{A}}+{R_{C}}.}
Sečtením všech třech rovnice vzniká rovnice, kterou lze algebraicky vyřešit:
R
1
R
2
+
R
1
R
3
−
R
1
R
2
−
R
2
R
3
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
=
2
R
A
,
{\displaystyle {\frac {{R_{1}}{R_{2}}+{R_{1}}{R_{3}}-{R_{1}}{R_{2}}-{R_{2}}{R_{3}}+{R_{1}}{R_{3}}+{R_{2}}{R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}=2{R_{A}},}
2
⋅
R
1
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
=
2
R
A
,
{\displaystyle 2\cdot {\frac {{R_{1}}{R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}=2{R_{A}},}
R
A
=
R
1
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
.
{\displaystyle {R_{A}}={\frac {{R_{1}}{R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}.}
Zbylé odpory lze vyřešit obdobným způsobem:
R
1
⋅
(
R
2
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
A
+
R
B
,
{\displaystyle {\frac {{R_{1}}\cdot \left({{R_{2}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{A}}+{R_{B}},}
R
2
⋅
(
R
1
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
B
+
R
C
,
{\displaystyle {\frac {{R_{2}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{B}}+{R_{C}},}
−
R
3
⋅
(
R
1
+
R
2
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
−
R
A
−
R
C
.
{\displaystyle -{\frac {{R_{3}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{2}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}=-{R_{A}}-{R_{C}}.}
2
⋅
R
1
R
2
R
1
+
R
2
+
R
3
=
2
R
B
,
{\displaystyle 2\cdot {\frac {{R_{1}}{R_{2}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}=2{R_{B}},}
R
B
=
R
1
R
2
R
1
+
R
2
+
R
3
,
{\displaystyle {R_{B}}={\frac {{R_{1}}{R_{2}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}},}
−
R
1
⋅
(
R
2
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
−
R
A
−
R
B
,
{\displaystyle -{\frac {{R_{1}}\cdot \left({{R_{2}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}=-{R_{A}}-{R_{B}},}
R
2
⋅
(
R
1
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
B
+
R
C
,
{\displaystyle {\frac {{R_{2}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{B}}+{R_{C}},}
R
3
⋅
(
R
1
+
R
2
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
A
+
R
C
.
{\displaystyle {\frac {{R_{3}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{2}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{A}}+{R_{C}}.}
−
R
1
R
2
−
R
1
R
3
+
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
=
2
R
C
,
{\displaystyle {\frac {-{R_{1}}{R_{2}}-{R_{1}}{R_{3}}+{R_{1}}{R_{2}}+{R_{2}}{R_{3}}+{R_{1}}{R_{3}}+{R_{2}}{R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}=2{R_{C}},}
2
⋅
R
2
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
=
2
R
C
,
{\displaystyle 2\cdot {\frac {{R_{2}}{R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}=2{R_{C}},}
R
C
=
R
2
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
.
{\displaystyle {R_{C}}={\frac {{R_{2}}{R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}.}
Tímto byly odvozeny všechny potřebné veličiny:
R
A
=
R
1
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
,
{\displaystyle {R_{A}}={\frac {{R_{1}}{R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}},}
R
B
=
R
1
R
2
R
1
+
R
2
+
R
3
,
{\displaystyle {R_{B}}={\frac {{R_{1}}{R_{2}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}},}
R
C
=
R
2
R
3
R
1
+
R
2
+
R
3
.
{\displaystyle {R_{C}}={\frac {{R_{2}}{R_{3}}}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}.}
Na základě rovnosti odporů lze, jako v předchozím případě, dospět k soustavě rovnic:
R
1
⋅
(
R
2
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
2
=
R
A
+
R
B
,
{\displaystyle {\frac {{R_{1}}\cdot \left({{R_{2}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{2}}}}={R_{A}}+{R_{B}},}
R
2
⋅
(
R
1
+
R
3
)
R
1
+
R
2
+
R
2
=
R
C
+
R
B
,
{\displaystyle {\frac {{R_{2}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{3}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{2}}}}={R_{C}}+{R_{B}},}
R
3
⋅
(
R
1
+
R
2
)
R
1
+
R
2
+
R
3
=
R
A
+
R
C
.
{\displaystyle {\frac {{R_{3}}\cdot \left({{R_{1}}+{R_{2}}}\right)}{{R_{1}}+{R_{2}}+{R_{3}}}}={R_{A}}+{R_{C}}.}
Poté se postupně vyjádří jednotlivé hodnoty neznámých odporů
R
1
,
R
2
{\displaystyle {R_{1}},{R_{2}}}
R
3
{\displaystyle {R_{3}}}
R
A
,
R
B
{\displaystyle {R_{A}},{R_{B}}}
R
C
{\displaystyle {R_{C}}}
R
1
=
R
A
+
R
B
+
R
A
⋅
R
B
R
C
,
{\displaystyle {R_{1}}={R_{A}}+{R_{B}}+{\frac {{R_{A}}\cdot {R_{B}}}{R_{C}}},}
R
2
=
R
B
+
R
C
+
R
B
⋅
R
C
R
A
,
{\displaystyle {R_{2}}={R_{B}}+{R_{C}}+{\frac {{R_{B}}\cdot {R_{C}}}{R_{A}}},}
R
3
=
R
A
+
R
C
+
R
A
⋅
R
C
R
B
.
{\displaystyle {R_{3}}={R_{A}}+{R_{C}}+{\frac {{R_{A}}\cdot {R_{C}}}{R_{B}}}.}
