Thaletova věta

Thaletova věta je matematická věta o velikosti úhlů trojúhelníků vytvořených nad průměrem kružnice. Je pojmenována po Thalétovi z Milétu, který ji jako první dokázal.

Znázornění Thaletovy věty

Kružnice, která je součástí konstrukce Thaletovy věty, bývá označována jako Thaletova kružnice.

Znění

Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.

Jiné znění: Všechny trojúhelníky, jejichž nejdelší stranu půlí střed kružnice opsané, jsou pravoúhlé.

Nebo jinak: Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.

Původní znění^[zdroj⁠?!]: "Středový úhel je dvojnásobek obvodového" Z toho vyplývají předešlá znění. (Při středovém úhlu 180° - přímka je obvodový úhel pravý - 90°)

Důkaz

Na horním obrázku je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky CSB a ASC jsou rovnoramenné (vždy dvě z jejich ramen jsou dlouhá r), má úhel ∠BCA velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku ABC je pak:

Čtyřúhelník ABDC je rovnoběžník a úhlopříčky AD i CB jsou stejně dlouhé, takže je to rovnoběžník pravoúhlý

Zobecnění Thaletovy věty.

α + β + α + β = 2 α + 2 β = 180°.

Pokud poslední rovnost vydělíme dvěma, dostaneme, že úhel
∠BCA = α + β = 90°.

Geometrický důkaz

Bod A, vrchol trojúhelníku ABC, můžeme promítnout podle středové souměrnosti do bodu D, takže vznikne trojúhelník CBD. Strany čtyřúhelníka ABDC jsou po dvou rovnoběžné a obě jeho úhlopříčky (AD a CB) jsou průměry kružnice a tedy stejně dlouhé. Čtyřúhelník ABDC je tedy pravoúhlý a pravý je i úhel CAB.

Zobecnění

Podrobnější informace naleznete v článku Věta o obvodovém a středovém úhlu.

Thaletova věta je zvláštní případ věty: Jestliže máme tři body A, B a C na kružnici se středem S, potom úhel ∠ASC je dvakrát tak velký než úhel ∠ABC.

Historie

Thalés z Milétu nebyl první, kdo tuto větu vyslovil. Byla známá již Egypťanům a Babyloňanům, ačkoli ti ji znali jen ze zkušenosti, nedokázali ji. To udělal až Thalés, který využil znalostí toho, že úhly při základně rovnoramenného trojúhelníku mají stejnou velikost a součet úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým úhlům.

Literatura

• Jiří Doležal: Základy geometrie, Vysoká škola báňská – Technická univerzita v Ostravě, Ostrava 2006, ISBN 80-248-1202-9, str. 13
• Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 16-17

Související články

• Tečna kružnice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Thaletova věta na Wikimedia Commons