Subdeterminant

V lineární algebře je subdeterminant nebo též minor matice ${\boldsymbol {A}}$ determinantem podmatice, která byla z matice ${\boldsymbol {A}}$ získána odstraněním některých řádků a sloupců. Počet řádků podmatice je řádem subdeterminantu. Subdeterminanty získané odstraněním právě jednoho řádku a jednoho sloupce ze čtvercové matice umožňují redukovat řád determinantu pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce. Prostřednictvím adjungované matice také souvisejí s inverzní maticí.

Subdeterminanty matice: zeleně je vyznačena podmatice odpovídající (druhému) minoru řádu 3 a hodnoty 16, žlutě podmatice k hlavnímu minoru řádu 2 hodnoty -7 a purpurově podmatice k vedoucímu hlavnímu minoru hodnoty 4.

Definice

Pro matici ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ a $0\leq k\leq \min\{m,n\}$ se subdeterminantem nebo minorem řádu $k$, nazývá determinant čtvercové matice řádu $k$ získané z matice ${\boldsymbol {A}}$ odebráním $m-k$ řádků a $n-k$ sloupců. Někdy se používá slovo „stupeň“ pro „řád“ subdeterminantu či minoru. Termín „minor“ se také nesprávně používá k označení čtvercové matice řádu $k$ získané uvedeným způsobem, ale tato matice by měla být označována jako (čtvercová) podmatice matice ${\boldsymbol {A}}$, přičemž výraz „minor“ by měl být užíván pouze pro determinant této matice.

Matice ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$ má celkem ${\binom {m}{k}}\cdot {\binom {n}{k}}$ subdeterminantů řádu $k$. Subdeterminant řádu nula je definován jako 1.

Operace odebrání formálně spočívá ve výběru posloupnosti indexů řádků $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ a posloupnosti indexů sloupců $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$. Tyto vybrané množiny indexů $I=\{i_{1},\dots ,i_{k}\}$ a $J=\{j_{1},\dots ,j_{k}\}$ se použijí k výpočtu determinantu podmatice ${\boldsymbol {A}}[I\times J]$, čili výrazu:

$\det({\boldsymbol {A}}[I\times J])={\begin{vmatrix}a_{i_{1},j_{1}}&a_{i_{1},j_{2}}&\dots &a_{i_{1},j_{k}}\\a_{i_{2},j_{1}}&a_{i_{2},j_{2}}&\dots &a_{i_{2},j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k},j_{1}}&a_{i_{k},j_{2}}&\dots &a_{i_{k},j_{k}}\end{vmatrix}}$

Je-li ${\boldsymbol {A}}$ čtvercová matice řádu $n$, potom její první minor je každý subdeterminant řádu $n-1$, a jako takový vzniká odebráním jednoho řádku a sloupce. Podobně pro druhé a další minory. Za nultý minor čtvercové matice lze považovat její determinant.

První minor, který je determinantem podmatice vytvořené z čtvercové matice ${\boldsymbol {A}}$ odstraněním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce se nazývá subdeterminant (minor) příslušný k prvku $a_{ij}$ matice ${\boldsymbol {A}}$.

Pokud $I=J$, čili pokud z matice bylo ponecháno $k$ řádků a sloupců se stejnými indexy, nazývá se odpovídající subdeterminant hlavním minorem stupně $k$ (platí i pro obdélníkové matice). Hlavní minor stupně $k$, vzniklý odebráním posledních $m-k$ řádků a $n-k$ sloupců, neboli daný množinami $I=J=\{1,2,\dots ,k\},$ se nazývá vedoucí hlavní minor řádu $k$. U čtvercových matic řádu $n$ se nazývá též $(n-k)$-tý vedoucí (hlavní) minor.

Někdy jsou vedoucí hlavní minory nazývány hlavními minory, zatímco první zmíněné nejsou nijak zvlášť pojmenovány.

Ukázka

U reálné matice

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&3&4&2\\0&3&1&1\\7&1&3&4\end{pmatrix}}$

typu $3\times 4$ vznikne odebráním druhého řádku a také druhého a třetího sloupce, neboli ponecháním prvků s řádkovými indexy z množiny $I=\{1,3\}$ a sloupcovými indexy z množiny $J=\{1,4\}$ subdeterminant hodnoty:

${\begin{vmatrix}1&\Box &\Box &2\\\Box &\Box &\Box &\Box \\7&\Box &\Box &4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2\\7&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 7=4-14=-10.$

Tento minor není hlavní, protože $I\neq J$. Hlavní minor matice ${\boldsymbol {A}}$ je například subdeterminant

${\begin{vmatrix}3&1\\1&3\end{vmatrix}}=8$

odvozený z množin $I=J=\{2,3\}$.

Vedoucí hlavní minory matice ${\boldsymbol {A}}$ jsou:

řádu 1: ${\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}}=1,\quad$ řádu 2: $\quad {\begin{vmatrix}1&3\\0&3\end{vmatrix}}=3,\quad$ řádu 3: ${\begin{vmatrix}1&3&4\\0&3&1\\7&1&3\end{vmatrix}}=-55.$

Subdeterminant příslušný k prvku $a_{23}$ reálné čtvercové matice

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{pmatrix}}$

je roven:

${\begin{vmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&4\\-1&9\\\end{vmatrix}}=9-(-4)=13$

Použití subdeterminantů

Algebraický doplněk

Podrobnější informace naleznete v článku Adjungovaná matice.

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem prvku $a_{ij}$ čtvercové matice ${\boldsymbol {A}}$ nazýváme číslo

${\tilde {a}}_{ij}={(-1)}^{i+j}{\det {\boldsymbol {A}}_{ij}}={\begin{vmatrix}a_{1,1}&\dots &a_{1,j-1}&0&a_{1,j+1}&\dots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{i-1,1}&\dots &a_{i-1,j-1}&0&a_{i-1,j+1}&\dots &a_{i-1,n}\\0&\dots &0&1&0&\dots &0\\a_{i+1,1}&\dots &a_{i+1,j-1}&0&a_{i+1,j+1}&\dots &a_{i+1,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\dots &a_{n,j-1}&0&a_{n,j+1}&\dots &a_{n,n}\end{vmatrix}}\;,$

kde $\det {\boldsymbol {A}}_{ij}$ je subdeterminant příslušný k prvku $a_{ij}$ matice ${\boldsymbol {A}}$. Transponovaná matice z algebraických doplňků se nazývá adjungovaná matice. Adjungovaná matice k regulární matici je $|{\boldsymbol {A}}|$-násobkem její inverzní matice.

Laplaceův rozvoj determinantu

Podrobnější informace naleznete v článku Determinant.

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu. Pro libovolný (pevně daný) řádkový index $i$ lze determinant matice ${\boldsymbol {A}}$ řádu $n$ vyjádřit pomocí součtu součinů všech prvků tohoto řádku a jejich algebraických doplňků:

$\det {\boldsymbol {A}}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\tilde {a}}_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{(-1)}^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ij}$.

Tento vzorec se nazývá (Laplaceův) rozvoj (rozklad) determinantu podle $i$-tého řádku. Vzhledem k tomu, že se determinant nezmění transpozicí matice, lze jej vyjádřit teké rozvojem (rozkladem) podle $j$-tého sloupce:

$\det {\boldsymbol {A}}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\tilde {a}}_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{(-1)}^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ij}$.

Pomocí těchto vzorců lze výpočet determinantu převést na výpočet několika subdeterminantů, jejichž řád je o jedna menší. Opakováním tohoto procesu lze dospět až k subdeterminantům prvního řádu, jejichž hodnota je odpovídá jednotlivým prvkům matice. Uvedený postup vede na rekurentní algoritmus pro výpočet determinantu. Navzdory jednoduché implementaci roste jeho výpočetní složitost exponenciálně rychle s řádem determinantu, proto je vhodnější determínant počítat např. Gaussovou eliminační metodou.

Rozvoj determinantu je možné zobecnit i na rozvoj podle víceprvkové množiny vybraných řádků s využitím všech možných subdeterminantů sestavených z těchto řádků.

Další aplikace

Každá reálná matice typu $m\times n$ hodnosti $r$ (platí i pro matice nad libovolným tělesem) má alespoň jeden nenulový subdeterminant řádu $r$, zatímco všechny subdeterminanty řádu alespoň $r+1$ jsou nulové.

U hermitovských matic mohou být vedoucí hlavní minory použity k testu pozitivní definitnosti podle Sylvesterova kritéria a hlavní minory mohou být podobně použity k testu pozitivní semidefinitnosti.

Jak vzorec pro obyčejný součin matic, tak i Cauchyho–Binetův vzorec pro determinant součinu matic jsou speciálními případy následujícího obecného tvrzení o subdeterminantech součinu matic. Jsou-li matice ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$, matice ${\boldsymbol {B}}$ typu $n\times p$ a jsou-li $I$ a $J$ dvě $k$-prvkové podmnožiny množin$\{1,\dots ,m\}$ a $\{1,\dots ,p\}$, potom platí:

$({\boldsymbol {AB}})[I\times J]=\sum _{K}\mathbf {A} [I\times K]\cdot \mathbf {B} [K\times J]\,$,

kde součet prochází přes všechny $k$-prvkové podmnožiny $K$ množiny $\{1,\dots ,n\}$. Uvedený vztah je přímým rozšířením Cauchyho–Binetova vzorce.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Minor (linear algebra) na anglické Wikipedii, Minor (Lineare Algebra) na německé Wikipedii a Minor na polské Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Adjungovaná matice
• Determinant
• Inverzní matice
• Podmatice

Portály: Matematika