Chceme-li aproximovat funkci danou svými body
x
0
⋯
x
n
{\displaystyle x_{0}\cdots x_{n}}
interpolace procházela zadanými body, použijeme aproximaci interpolačním polynomem . Tato interpolace nám poslouží k získání přibližné hodnoty funkce v libovolném bodě intervalu
<
x
0
,
x
n
>
{\displaystyle <x_{0},x_{n}>}
Příklad interpolace polynomem - interpolační funkce vždy prochází všemi známými body funkce Tvar Newtonova interpolačního polynomu:
N
n
(
x
)
=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
+
.
.
.
+
a
n
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
.
.
.
(
x
−
x
n
−
1
)
{\displaystyle N_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+...+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n-1})}
Koeficienty
a
0
⋯
a
n
{\displaystyle a_{0}\cdots a_{n}}
poměrných diferencí . (viz níže)
V každém sloupci tabulky se budou nacházet poměrné diference daného řádu. Diferencemi 0. řádu budou přímo funkční hodnoty v bodech
x
i
{\displaystyle x_{i}}
Poměrné diference 1. řádu vyjádříme:
f
[
x
i
,
x
i
+
1
]
=
f
(
x
i
+
1
)
−
f
(
x
i
)
x
i
+
1
−
x
i
{\displaystyle f[x_{i},x_{i+1}]={\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}}
Poměrné diference 2. řádu vyjádříme:
f
[
x
i
,
x
i
+
1
,
x
i
+
2
]
=
f
[
x
i
+
1
,
x
i
+
2
]
−
f
[
x
i
,
x
i
+
1
]
x
i
+
2
−
x
i
{\displaystyle f[x_{i},x_{i+1},x_{i+2}]={\frac {f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_{i},x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_{i}}}}
Ostatní diference vyjádříme analogicky.
[ 2]
editovat
Hledáme polynom procházející body:
[
−
2
,
−
39
]
,
[
0
,
3
]
,
[
1
,
6
]
,
[
3
,
36
]
{\displaystyle [-2,-39],[0,3],[1,6],[3,36]}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
f
(
x
i
)
{\displaystyle f(x_{i})}
Diference 1. řádu
Diference 2. řádu
Diference 3. řádu
x
0
=
−
2
{\displaystyle x_{0}=-2}
f
(
x
0
)
=
−
39
=
a
0
{\displaystyle f(x_{0})=-39=a_{0}}
x
1
=
0
{\displaystyle x_{1}=0}
f
(
x
1
)
=
3
{\displaystyle f(x_{1})=3}
3
−
(
−
39
)
0
−
(
−
2
)
=
21
=
a
1
{\displaystyle {\frac {3-(-39)}{0-(-2)}}=21=a_{1}}
x
2
=
1
{\displaystyle x_{2}=1}
f
(
x
2
)
=
6
{\displaystyle f(x_{2})=6}
6
−
3
1
−
0
=
3
{\displaystyle {\frac {6-3}{1-0}}=3}
3
−
21
1
−
(
−
2
)
=
−
6
=
a
2
{\displaystyle {\frac {3-21}{1-(-2)}}=-6=a_{2}}
x
3
=
3
{\displaystyle x_{3}=3}
f
(
x
3
)
=
36
{\displaystyle f(x_{3})=36}
36
−
6
3
−
1
=
15
{\displaystyle {\frac {36-6}{3-1}}=15}
15
−
3
3
−
0
=
4
{\displaystyle {\frac {15-3}{3-0}}=4}
4
−
(
−
6
)
3
−
(
−
2
)
=
2
=
a
3
{\displaystyle {\frac {4-(-6)}{3-(-2)}}=2=a_{3}}
P
3
(
x
)
=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
+
a
3
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle P_{3}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+a_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}
P
3
(
x
)
=
−
39
+
21
(
x
+
2
)
−
6
(
x
+
2
)
x
+
2
(
x
+
2
)
x
(
x
−
1
)
{\displaystyle P_{3}(x)=-39+21(x+2)-6(x+2)x+2(x+2)x(x-1)}
Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti Lagrangeově interpolaci výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty
a
k
{\displaystyle a_{k}}
↑ RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.; Mgr. Irena Růžičková. Matematika 3 . [s.l.]: [s.n.] Dostupné online . Kapitola 6.1.3, s. 64. [nedostupný zdroj ↑ Numerical Analysis for Engineering: 5.3 Newton Polynomials [online]. [cit. 2012-10-14]. Dostupné online . 
![{\displaystyle f[x_{i},x_{i+1}]={\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de59bd4b030f193154cd7d6a9e750571844ac3c)
![{\displaystyle f[x_{i},x_{i+1},x_{i+2}]={\frac {f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_{i},x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c859b285c9fa39106c48cc33bd4c3cc083c27f1b)
![{\displaystyle [-2,-39],[0,3],[1,6],[3,36]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ef129ea78371a62069b6f4cc06f54dcf29b8b5)
