Multirozklad

Jako multirozklad (multiresolution analysis, MRA) se označuje rozklad signálu $f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )$ do systému hierarchicky uspořádaných podprostorů $\mathbf {V_{m}}$.

Celý prostor spojitých funkcí $L^{2}(\mathbb {R} )$ lze rozložit do vnořených podprostorů

$\{0\}\dots \subset \mathbf {V_{2}} \subset \mathbf {V_{1}} \subset \mathbf {V_{0}} \subset \mathbf {V_{-1}} \subset \mathbf {V_{-2}} \subset \dots L^{2}(\mathbb {R} )$.

V souvislosti s vlnkovou transformací tvoří systém $\{\phi _{j,n}\}_{n\in \mathbb {Z} }$ bázi prostoru $\mathbf {V_{j}}$. Podstatná je existence ortogonálního doplňku

$\mathbf {V_{j-1}} =\mathbf {V_{j}} \oplus \mathbf {W_{j}}$.

Zde systém $\{\psi _{j,n}\}_{n\in \mathbb {Z} }$ tvoří bázi prostoru $\mathbf {W_{j}}$. Z výše uvedených vztahů vyplývá, že $\{\psi _{j,n}\}_{j,n\in \mathbb {Z} ^{2}}$ je báze prostoru $L^{2}(\mathbb {R} )$ a tedy

$L^{2}(\mathbb {R} )=\oplus _{j=-\infty }^{+\infty }\mathbf {W_{j}}$.

Pro lepší představu lze hierarchii popsat následovně.

$L^{2}(\mathbb {R} )=\underbrace {{\underbrace {\dots \oplus \mathbf {W_{2}} } _{\mathbf {V_{1}} }}\oplus \mathbf {W_{1}} } _{\mathbf {V_{0}} }\oplus \mathbf {W_{0}} \oplus \mathbf {W_{-1}} \oplus \mathbf {W_{-2}} \oplus \dots$

Multirozklad vyžaduje platnosti tzv. dilatačních rovnic

${\begin{aligned}\phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n}h(n)\phi (2t-n)\\\psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n}g(n)\phi (2t-n)\end{aligned}}$.

S jeho pomocí lze také vyjádřit vlnkové řady a diskrétní vlnkovou transformaci podle Mallatova schématu.

Literatura

• MALLAT, Stéphane. A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way. With contributions from Gabriel Peyré. 3. vyd. [s.l.]: Academic Press, 1998. xx, 805 s. Dostupné online. ISBN 9780123743701. (anglicky)