Extrém funkce

Extrém funkce je takový bod funkce, který ve svém okolí nabývá největší hodnoty (maximum) nebo nejmenší hodnoty (minimum). Největší hodnota z maxim se nazývá globální, nebo také absolutní, maximum, nejnižší hodnota z minim se nazývá globální (absolutní) minimum. Pokud je bod extrémem, ale není to globální extrém (tzn. funkce v nějakém bodě nabývá vyšší hodnoty), pak se tento bod nazývá lokální extrém. Nalezení extrému funkce je důležité při vyšetřování průběhu funkce. Zvláštním typem úloh je hledání extrému při splnění dalších omezujících podmínek, které musejí splňovat argumenty funkce (tzv. vázaný extrém a absolutní extrém).

Definice

Funkce f: R → R má v bodě x₀:

lokální maximum, pokud existuje okolí O(x₀) tak, že pro každé x ∈ O(x₀) je f(x) ≤ f(x₀)
lokální minimum, pokud existuje okolí O(x₀) tak, že pro každé x ∈ O(x₀) je f(x) ≥ f(x₀)
ostré lokální maximum, pokud existuje okolí O(x₀) tak, že pro každé x ∈ O(x₀) \ {x₀} je f(x) < f(x₀)
ostré lokální minimum, pokud existuje okolí O(x₀) tak, že pro každé x ∈ O(x₀) \ {x₀} je f(x) > f(x₀)

Pokud je v bodě lokální extrém a první derivace existuje, pak je nulová.

Nalezení extrému funkce

Každá funkce může nabývat své největší nebo nejmenší hodnoty pouze ve stacionárních bodech, což je bod, ve kterém je první derivace funkce nulová. Pokud je první nenulová derivace v tomto bodě lichá, pak extrém nenastává, jedná se o inflexní bod. Pokud je první nenulová derivace v tomto bodě sudá a je větší než nula, pak nastává minimum; pokud je menší než nula nastává maximum.

Příklady

Funkce y = x² má první derivaci v x=0 nulovou, což znamená, že je tento bod stacionární. Druhou souřadnici získáme dosazením do původní rovnice. Nyní tedy hledáme první nenulovou derivaci. Zjistíme, že druhá (sudá) derivace této funkce je nenulová a je větší než nula. Bod [0, 0] je tedy lokální minimum. Protože funkce nemá žádné další extrémy, je tento bod i globálním minimem (nejmenší z lokální minim). Funkce nemá žádné globální maximum.

Funkce y = x³ má první derivaci v bodě v počátku nulovou, což znamená, že je tento bod opět stacionární. První nenulová derivace je třetí, což je však liché číslo, takže nezáleží na tom, jestli je větší či menší než nula, a tento bod není lokálním extrémem, je to inflexní bod.

Minimum funkce y = |x| nelze najít pomocí derivací, protože derivace v bodě [0, 0] neexistují.

Funkce cos(x) má nekonečně mnoho globálních maxim v 2kπ a nekonečně mnoho globálních minim v (2k+1)π

Extrémy funkcí více proměnných

Funkce f: Rⁿ → R má v bodě x* = [x₁,x₂,...,x_n]:

lokální maximum, pokud existuje okolí O(x*) tak, že pro každé x ∈ O(x*) je f(x) ≤ f(x*)
lokální minimum, pokud existuje okolí O(x*) tak, že pro každé x ∈ O(x*) je f(x) ≥ f(x*)
ostré lokální maximum, pokud existuje okolí O(x*) tak, že pro každé x ∈ O(x*) \ {x*} je f(x) < f(x*)
ostré lokální minimum, pokud existuje okolí O(x*) tak, že pro každé x ∈ O(x*) \ {x*} je f(x) > f(x*)

Bod x* je stacionárním bodem funkce, právě tehdy když existují všechny parciální derivace v tomto bodě a jsou nulové.

Pokud je determinant (hessián) Hessovy matice (matice druhých parciálních derivací) funkce f v bodě x*:

pozitivně definitní, pak je v bodě x* ostré lokální minimum.
negativně definitní, pak je v bodě x* ostré lokální maximum.
indefinitní, pak v bodě x* extrém nenastává.

Odkazy

Literatura

Průběh funkce: Extrémy. DOŠLÁ, Zuzana a Jaromír KUBEN. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. 2. vydání. Brno: Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, 2012, s. 113-152. ISBN 978-80-210-5814-9.
Lokální a absolutní extrémy. DOŠLÁ, Zuzana a Ondřej DOŠLÝ. Diferenciální počet funkcí více proměnných. 3. vydání. Brno: Masarykova univerzita, 2010, s. 64-80. ISBN 978-80-210-4159-2.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu extrém funkce na Wikimedia Commons
Příklady na určování extrémů funkcí jedné proměnné
Vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné