Legendrovy polynomy
P
n
(
x
)
,
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle P_{n}(x),\,n=0,1,2,...}
polynomy reálné proměnné
x
{\displaystyle x}
intervalu
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \langle -1,1\rangle }
Adrien-Marie Legendre roku 1782. Přitom
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
matematické fyzice a lze je definovat několika různými vzájemně ekvivalentními způsoby. Jedním z nich je požadovat, aby
pro
n
≠
m
{\displaystyle n\neq m}
∫
−
1
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0}
ortogonality Legendrových polynomů);
pro každé
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle n=0,1,2,...}
P
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle P_{n}(1)=1}
Prvních šest Legendrových polynomů Legendrovy polynomy jsou zvláštním případem Gegenbauerových polynomů , které zase jsou zvláštním případem Jacobiho polynomů , jednoho z klasických polynomiálních systémů matematiky. Legendrovy polynomy sudého stupně jsou sudé funkce a Legendrovy polynomy lichého stupně jsou liché funkce.
Prvních několik Legendrových polynomů je:
P
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle P_{0}(x)=1}
P
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{1}(x)=x}
P
2
(
x
)
=
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle P_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)}
P
3
(
x
)
=
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle P_{3}(x)={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)}
P
4
(
x
)
=
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle P_{4}(x)={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}
P
5
(
x
)
=
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle P_{5}(x)={\tfrac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}
Pro Legendrovy polynomy platí Rodriguesova formule (1818)
P
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
d
n
d
x
n
(
x
2
−
1
)
n
,
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,,}
jež umožňuje odvodit další vzorce, vyjadřující tyto polynomy explicitně, například
P
n
(
x
)
=
1
2
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
(
x
−
1
)
n
−
k
(
x
+
1
)
k
,
P
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
n
+
k
k
)
(
x
−
1
2
)
k
,
P
n
(
x
)
=
1
2
n
∑
k
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
2
n
−
2
k
n
)
x
n
−
2
k
,
P
n
(
x
)
=
2
n
∑
k
=
0
n
x
k
(
n
k
)
(
n
+
k
−
1
2
n
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\end{aligned}}}
editovat
Legendre své polynomy původně definoval pomocí generující funkce, tedy jako koeficienty Taylorova rozkladu:
1
1
−
2
x
t
+
t
2
=
∑
n
=
0
∞
P
n
(
x
)
t
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.}
Derivováním této rovnice podle
t
{\displaystyle t}
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}
Legendre své polynomy objevil v souvislosti se studiem Newtonova potenciálu [ 1] gravitační potenciál hmotného bodu nebo Coulombův potenciál bodového náboje), který lze rozložit na sumu těchto polynomů:
1
|
x
−
x
′
|
=
1
r
2
+
r
′
2
−
2
r
r
′
cos
γ
=
∑
ℓ
=
0
∞
R
′
ℓ
r
ℓ
+
1
P
ℓ
(
cos
γ
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{R'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}
kde r a r ′ jsou délky vektorů x x γ je úhel mezi těmito vektory. Vyjádření může být užitečné například integrujeme-li potenciál přes spojitou distribuci hmoty nebo náboje.
editovat
Legendrovy polynomy jsou řešeními diferenciální rovnice , pojmenované rovněž po Legendrovi:
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
P
n
(
x
)
d
x
]
+
n
(
n
+
1
)
P
n
(
x
)
=
0
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {dP_{n}(x)}{dx}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,.}
Z toho plyne, že tyto polynomy jsou vlastními vektory odpovídajícího diferenciálního operátoru :
d
d
x
(
(
1
−
x
2
)
d
d
x
)
P
(
x
)
=
−
λ
P
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}
z čehož lze dále podle Sturmovy–Liouvilleovy teorie odvodit, že jde o úplný a ortogonální systém polynomů na definičním intervalu.
Jako úplný a ortogonální systém polynomů mají Legendrovy polynomy tyto vlastnosti:
∫
−
1
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
m
n
,
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}
kde
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
Kroneckerovo delta , rovné jedné, pokud
m
=
n
,
{\displaystyle m=n,}
Máme-li po částech spojitou funkci
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \langle -1,1\rangle }
f
n
(
x
)
=
∑
ℓ
=
0
n
a
ℓ
P
ℓ
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}
konverguje v průměru k
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
a
ℓ
=
2
ℓ
+
1
2
∫
−
1
1
f
(
x
)
P
ℓ
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}
↑ LEGENDRE, A.-M. Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées . Paris: [s.n.], 1785. Kapitola Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes , s. 411–435. (French) Je zde použita šablona {{Cite book }} označená jako k „pouze dočasnému použití“. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd71dfb05cc56dbb7865a327506ec68c5f36542e)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {dP_{n}(x)}{dx}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e0bcae88f3f76492dd0220ad049fd0ccb3fd03)
Obrázky, zvuky či videa k tématu Legendreovy polynomy na Wikimedia Commons 
