Kvartická rovnice je algebraická rovnice čtvrtého stupně o jedné neznámé. Lze ji vyjádřit v obecném tvaru

,

kde .

U kvartických rovnic se používá následující terminologie:

  • – kvartický člen
  • – kubický člen
  • – kvadratický člen
  • – lineární člen
  • – absolutní člen

Bikvadratická rovnice

editovat

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

 

Řešení bikvadratické rovnice

editovat

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce  , čímž vznikne kvadratická rovnice

 

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

 

Toto řešení použijeme pro získání hodnot  , které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

 
 

Obecné řešení kvartické rovnice

editovat

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná algebraicky ("v radikálech", tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Lodovico Ferrari v polovině 16. století, veden svým učitelem Girolamem Cardanem. Dnes existuje více metod řešení, např. následující postup Reného Descarta.

1. Obecnou kvartickou rovnici

 .

Normujeme, tj. vydělíme rovnici vedoucím koeficientem   a získáme rovnici s vedoucím koeficientem 1:

 

2. Zbavíme se kubického členu substitucí (posunutí proměnné)

 

a rovnice získá tzv. redukovaný tvar:

 

3. Rozložíme čtyřčlen na dva (normované) kvadratické trojčleny. Označme koeficienty  , ,  ,  . Má tedy platit:

 .

Aby rovnost mnohočlenů platila, musí mít stejné koeficienty, což zjistíme roznásobením:

 .

 

 

 

4. První nejjednodušší lineární rovnice   je důsledkem požadavku na vymizení kubického členu. Dosadíme za   do následujících rovnic

 ,

 ,

 .

5. První dva z těchto vztahů ještě upravíme, aby vlevo zůstaly jen neznámé  :

 

 

 .

6. Následuje nejsložitější obrat. Zaměříme se nyní na neznámé  . Pro součet, rozdíl a součin dvou libovolných čísel   platí vztah

 ,

který použijeme na neznámé   a   v rovnicích 5. kroku:

 

7. Rovnici pro jedinou neznámou   snadno upravíme:

 

8. Rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé  . Substitucí   získáme kubickou rovnici, tzv. kubickou resolventu

 ,

kterou vyřešíme.

9. Zjistili jsme neznámou   a tedy i  . Po dosazení číselné hodnoty   do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty  ,  . Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů

 .

10. Kořeny   získáme vyřešením kvadratické rovnice  , zatímco kořeny   vyřešením kvadratické rovnice  .

11. Známe-li kořeny  , pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice  .

Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici   lze snadno rozložit na  , popř. ještě dál na:  , a tak uhodnout z hlavy kořeny  ,  .


Obrázky

editovat

Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).

Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat