Kofinál
Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.
Definice
editovatPojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy budou označovat libovolná ordinální čísla a budou označovat vždy limitní ordinály.
Kofinální podmnožina
editovatŘekneme, že množina je kofinální podmnožinou , existuje-li pro každé takové , že . Říkáme také, že A je kofinální s .
Například
- množina je kofinální podmnožina ordinálu .
- množina je kofinální podmnožina ordinálu .
- množina je kofinální podmnožina ordinálu pro každé .
Kofinál a kofinalita
editovatKofinálem limitního ordinálu rozumíme nejmenší ordinál takový, že existuje množina kofinální s , jejímž ordinálním typem je (tj. A je -izomorfní s ). Kofinál limitního ordinálu se značí .
Kofinalitou rozumíme mohutnost (kardinalitu) . Lze ukázat, že pro každé je kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
Například
- pro každé
Regulární a singulární ordinál
editovatLimitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.
Vlastnosti
editovat- Pro každý limitní ordinál platí
- Pro každý limitní ordinál platí .
- Pro všechna je kardinální číslo.
Dále za předpokladu axiomu výběru:
- Pro každý nekonečný kardinál platí .