Grupový okruh

Grupový okruh je termín z matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh a zároveň modul vytvořený daným způsobem z libovolné dané grupy a okruhu.

Definice

Pro zadanou grupu $G$ a zadaný okruh $R$ je grupový okruh $R[G]$ definován takto:

• nosičem $R[G]$ je množina všech zobrazení $f:G\to R$ s konečným nosičem, přičemž jednotlivá zobrazení se tradičně zapisují jako formální lineární kombinace, tedy v podobě

  $\sum _{g\in G}f(g)g,$ nebo $\sum _{g\in G}f_{g}g$.

• součet dvou prvků $r:G\to R$ a $s:G\to R$ je definován součtem jejich funkčních hodnot, tedy $x\mapsto r(x)+s(x)$, respektive tradičním zápisem

  $r+s=\sum _{g\in G}(r_{g}+s_{g})g$

• násobení prvku $r:G\to R$ skalárem $\alpha$ z okruhu $R$ je definováno „standardně po složkách“, tedy $x\mapsto \alpha \cdot r(x)$, respektive tradičním zápisem

  $\alpha \cdot r=\sum _{g\in G}(\alpha r_{g})g$

• okruhové násobení prvků $r:G\to R$ a $s:G\to R$ je definováno

  $x\mapsto \sum _{uv=x}r(u)s(v)=\sum _{u\in G}r(u)s(u^{-1}x)$

Literatura

• HORÁČEK, Jan. Grupové okruhy v teorii kódů. Praha, 2012. bakalářská práce. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy. Vedoucí práce Jan Žemlička. Dostupné online.