Formální derivace

V matematice, formální derivace označuje operaci nad prvky okruhu polynomů či okruhu mocninných řad, která se chová jako derivace z diferenciálního počtu. Ačkoli vypadají obdobně, výhodou formální derivace je, že nevyžaduje k definici limitní přechod, který v některých okruzích není možno použít. Mnoho vlastností derivací z diferenciálního počtu platí i pro formální derivace, některé naopak ani nedávají smysl. Základním použitím formálních derivací je oddělení kořenů polynomu různé násobnosti.

Definice

editovat

Pro daný komutativní okruh R nechť A = R[x] je okruh polynomů nad R. Pak formální derivace je operace nad prvky okruhu A, kde pro

 

je formální derivace

 

což přesně odpovídá vztahům pro polynomy nad reálnými či komplexními čísly.

(Běžně značíme součet   konstantních sčítanců   výrazem  , v tomto případě uvádíme součet abychom předešli záměně s násobením v okruhu R.)

Vlastnosti

editovat

Není těžké ověřit, že:

  • Formální derivace je lineární: pro libovolné dva polynomy f(x), g(x) a prvky r, s okruhu R, platí
 
  • Formální derivace splňuje pravidlo derivace součinu:
 

Důkazy

editovat

   

   

Vztah k derivaci z diferenciálního počtu

editovat

Pokud je okruh R komutativní, existuje alternativní ekvivalentní definice formální derivace, která mnohem víc připomíná definici z diferenciálního počtu. Prvek Y-X okruhu R[X,Y] dělí Yn – Xn pro libovolné nezáporné celé n, a proto dělí f(Y) – f(X) pro libovolný polynom f s jednou proměnnou. Pokud označíme výsledný podíl (v R[X,Y]) pomocí g:

 

pak není těžké ověřit, že g(X,X) (v R[X]) dává stejnou definici jako formální derivace f definovaná výše.

Tato formulace formální derivace je použitelná i pro mocninné řady, (za předpokladu, že okruh R skalárů je komutativní).

Definice použitelná i pro nekomutativní okruhy

editovat

Nechť pro   je   nechť   Dodefinujme derivaci pro výrazy tak, aby   a  

Je potřeba dokázat, že takto definovaná derivace dává stejné výsledky nezávisle na tom, jak spočteme daný výraz, tedy, že je kompatibilní se všemi axiomy rovnosti.

  •  
  •  
  •  
 
  •  
 
 

a distributivita z druhé strany symetricky.

Linearita je při tomto přístupu samozřejmostí.

Vztah pro derivaci polynomu (ve standardním tvaru pro komutativní okruhy) je přímým důsledkem:  

Aplikace pro separaci podpolynomů různých násobností

editovat

Je-li polynom   možno napsat ve tvaru  , kde polynomy   jsou nesoudělné. Pak je možno polynomy   postupně od posledního najít vícenásobným použitím největšího společného dělitele polynomu s jeho formální derivací (není potřeba aby polynomy byly nad reálnými či komplexními čísly).