Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením () a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Znění

editovat

Eulerova rovnost je vzorec  , kde

Elegantnost vyjádření

editovat

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

editovat
 
Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem Eulerova vzorce, který říká

 

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

 

dostaneme

 

Protože

 

a

 

vyplývá odtud

 

a převedením na druhou stranu

 

Zobecnění

editovat

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

 

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat