Eulerova rovnice (anglicky Cauchy–Euler equation obyčejná diferenciální rovnice n -tého řádu tvaru
x
n
y
(
n
)
+
a
n
−
1
x
n
−
1
y
(
n
−
1
)
+
a
n
−
2
x
n
−
2
y
(
n
−
2
)
+
.
.
.
+
a
2
x
2
y
′
′
+
a
1
x
y
′
+
a
0
y
=
0
{\displaystyle x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}x^{n-2}y^{(n-2)}+...+a_{2}x^{2}y^{\prime \prime }+a_{1}xy^{\prime }+a_{0}y=0}
kde
a
0
,
a
1
,
.
.
.
,
a
n
−
1
{\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n-1}}
konstanty .
Eulerova diferenciální rovnice je speciálním případem rovnice s proměnnými koeficienty, kterou lze substitucí
x
=
e
t
{\displaystyle x=\mathrm {e} ^{t}}
lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty řešitelnou explicitně. Alternativně lze zkoušet řešení tvaru
y
=
x
m
{\displaystyle y=x^{m}}
[ 1]
Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro případ dvou reálných kořenů Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro dvojnásobný kořen Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro vícenásobné kořeny Nejobvyklejší Eulerovou rovnicí je rovnice druhého řádu, která se objevuje v několika aplikacích ve fyzice a strojírenství, například při řešení Laplaceovy rovnice v polární souřadnicích. Je dána rovnice:[ 1]
x
2
d
2
y
d
x
2
+
a
x
d
y
d
x
+
b
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0.\,}
editovat
Zkoušíme řešení tvaru[ 1]
y
=
x
m
.
{\displaystyle y=x^{m}.\,}
Zderivováním dostaneme:
d
y
d
x
=
m
x
m
−
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=mx^{m-1}\,}
a
d
2
y
d
x
2
=
m
(
m
−
1
)
x
m
−
2
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}.\,}
Dosadíme do původní rovnice:
x
2
(
m
(
m
−
1
)
x
m
−
2
)
+
a
x
(
m
x
m
−
1
)
+
b
(
x
m
)
=
0
{\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,}
A upravíme na:
m
2
+
(
a
−
1
)
m
+
b
=
0.
{\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,}
Tuto rovnici řešíme pro proměnnou m . Existují tři odlišné zajímavé případy:
Případ 1: Dva různé reálné kořeny m 1 a m 2
Případ 2: Jeden reálný vícenásobný kořen m
Případ 3: Komplexní kořeny α ± βi V případě 1 má Eulerova rovnice řešení
y
=
c
1
x
m
1
+
c
2
x
m
2
{\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,}
V případě 2 má Eulerova rovnice řešení
y
=
c
1
x
m
ln
(
x
)
+
c
2
x
m
{\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,}
Pro získání tohoto řešení je nutné po nalezení jednoho řešení y = x m redukce řádu .
V případě 3 má Eulerova rovnice řešení
y
=
c
1
x
α
cos
(
β
ln
(
x
)
)
+
c
2
x
α
sin
(
β
ln
(
x
)
)
{\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}
α
=
R
e
(
m
)
{\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}
β
=
I
m
(
m
)
{\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}
Pro
c
1
{\displaystyle c_{1}\,}
c
2
{\displaystyle c_{2}\,}
Tento tvar řešení odvodíme položením x = e t Eulerova vzorce .
V rovnici
x
2
d
2
y
d
x
2
+
a
x
d
y
d
x
+
b
y
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0\,}
provedeme substituci proměnné definovanou vztahem
t
=
ln
(
x
)
.
{\displaystyle t=\ln(x).\,}
y
(
x
)
=
ϕ
(
ln
(
x
)
)
=
ϕ
(
t
)
.
{\displaystyle y(x)=\phi (\ln(x))=\phi (t).\,}
Po zderivování:
d
y
d
x
=
1
x
d
ϕ
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}}
d
2
y
d
x
2
=
1
x
2
(
d
2
ϕ
d
t
2
−
d
ϕ
d
t
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi }{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}{\bigg )}.}
Substituce
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
d
2
ϕ
d
t
2
+
(
a
−
1
)
d
ϕ
d
t
+
b
ϕ
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi }{\mathrm {d} t^{2}}}+(a-1){\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}+b\phi =0.\,}
Tato rovnice pro
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
charakteristického polynomu
λ
2
+
(
a
−
1
)
λ
+
b
=
0.
{\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}
Nyní jestliže
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}}
Jestliže má rovnice různé kořeny, obecné řešení je dáno vztahem
ϕ
(
t
)
=
c
1
e
λ
1
t
+
c
2
e
λ
2
t
{\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}}
exponenciální funkce mohou být komplexní.Jestliže kořeny jsou si rovné, obecné řešení je dáno vztahem
ϕ
(
t
)
=
c
1
e
λ
1
t
+
c
2
t
e
λ
1
t
.
{\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}
V obou případech lze řešení
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)}
t
=
ln
(
x
)
{\displaystyle t=\ln(x)}
ϕ
(
ln
(
x
)
)
=
y
(
x
)
{\displaystyle \phi (\ln(x))=y(x)}
To dává v prvním případě
y
(
x
)
=
c
1
x
λ
1
+
c
2
x
λ
2
{\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}
ve druhém případě
y
(
x
)
=
c
1
x
λ
1
+
c
2
ln
(
x
)
x
λ
1
.
{\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}
Řešíme rovnici
x
2
u
″
−
3
x
u
′
+
3
u
=
0
,
{\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}
nahradíme jednoduché řešení x α :
x
2
(
α
(
α
−
1
)
x
α
−
2
)
−
3
x
(
α
x
α
−
1
)
+
3
x
α
=
α
(
α
−
1
)
x
α
−
3
α
x
α
+
3
x
α
=
(
α
2
−
4
α
+
3
)
x
α
=
0
.
{\displaystyle x^{2}(\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2})-3x(\alpha x^{\alpha -1})+3x^{\alpha }=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha }-3\alpha x^{\alpha }+3x^{\alpha }=(\alpha ^{2}-4\alpha +3)x^{\alpha }=0\,.}
Aby x α bylo řešení, platí buď x = 0, což dává triviální řešení, anebo koeficient u x α je nula. Řešením kvadratické rovnice dostaneme α = 1, 3. Obecné řešení je proto
u
=
c
1
x
+
c
2
x
3
.
{\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}
editovat
Eulerovy rovnice má obdobu v diferenčních rovnicích . Pro pevné m > 0, definujeme posloupnost ƒ m n ) jako
f
m
(
n
)
:=
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
m
−
1
)
=
(
n
+
m
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle f_{m}(n):=n(n+1)\cdots (n+m-1)={\frac {(n+m-1)!}{(n-1)!}}}
Použitím diferenčního operátoru na
f
m
{\displaystyle f_{m}}
D
f
m
(
n
)
=
f
m
(
n
+
1
)
−
f
m
(
n
)
=
m
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
⋯
(
n
+
m
−
1
)
=
m
n
f
m
(
n
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}Df_{m}(n)&=f_{m}(n+1)-f_{m}(n)\\&=m(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)={\frac {m}{n}}f_{m}(n).\end{aligned}}}
Jestliže tento postup opakujeme k -krát, dostaneme
f
m
(
k
)
(
n
)
=
m
(
m
−
1
)
⋯
(
m
−
k
+
1
)
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
−
1
)
f
m
(
n
)
=
m
(
m
−
1
)
⋯
(
m
−
k
+
1
)
f
m
(
n
)
f
k
(
n
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{m}^{(k)}(n)&={\frac {m(m-1)\cdots (m-k+1)}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}f_{m}(n)\\&=m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {f_{m}(n)}{f_{k}(n)}},\end{aligned}}}
kde horní index (k ) znamená k -násobné použití diferenčního operátoru. Srovnání tohoto s faktem, že k -tá derivace x m
m
(
m
−
1
)
⋯
(
m
−
k
+
1
)
x
m
x
k
{\displaystyle m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {x^{m}}{x^{k}}}}
nabízí možnost řešit diferenční rovnice N -tého řádu
f
N
(
n
)
y
(
N
)
(
n
)
+
a
N
−
1
f
N
−
1
(
n
)
y
(
N
−
1
)
(
n
)
+
⋯
+
a
0
y
(
n
)
=
0
,
{\displaystyle f_{N}(n)y^{(N)}(n)+a_{N-1}f_{N-1}(n)y^{(N-1)}(n)+\cdots +a_{0}y(n)=0,}
podobným způsobem jako diferenciální rovnice. Skutečně substituce zkušebního řešení
y
(
n
)
=
f
m
(
n
)
{\displaystyle y(n)=f_{m}(n)\,}
dává stejný výsledek jako diferenciální rovnice
m
(
m
−
1
)
⋯
(
m
−
N
+
1
)
+
a
N
−
1
m
(
m
−
1
)
⋯
(
m
−
N
+
2
)
+
⋯
+
a
1
m
+
a
0
=
0.
{\displaystyle m(m-1)\cdots (m-N+1)+a_{N-1}m(m-1)\cdots (m-N+2)+\cdots +a_{1}m+a_{0}=0.}
Nyní můžeme pokračovat jako v případě diferenciální rovnice, protože obecné řešení lineární diferenční rovnice N -tého řádu je také lineární kombinací N lineárně nezávislých řešení. Použitím redukce řádu v případě více kořenů m 1 dostaneme výrazy obsahující diskrétní verzi funkce ln,
φ
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
1
k
−
m
1
.
{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k-m_{1}}}.}
(Srovnejte s:
ln
(
x
−
m
1
)
=
∫
1
+
m
1
x
1
t
−
m
1
d
t
.
{\displaystyle \ln(x-m_{1})=\int _{1+m_{1}}^{x}{\frac {1}{t-m_{1}}}\,\mathrm {d} t.}
Pokud se vyskytnou zlomky, lze místo výše uvedeného použít funkci gama:
f
m
(
n
)
:=
Γ
(
n
+
m
)
Γ
(
n
)
{\displaystyle f_{m}(n):={\frac {\Gamma (n+m)}{\Gamma (n)}}}
což se shoduje s výše uvedenou definicí pro celočíselné m .
