Dosažitelná kategorie

Dosažitelná kategorie je pojem z matematické teorie kategorií. Pokouší se popisovat kategorie z hlediska jejich „velikosti“, kardinálního počtu operací potřebných pro generování jejich objektů.

Teorie vychází z práce Alexandra Grothendiecka dokončené roku 1969, a knihy Gabriela a Ulmera z roku 1971. V roce 1989 teorii dále rozvinul Michael Makkai a Robert Paré, s motivací pocházející z teorie modelů, oboru matematické logiky. Standardní učebnice Jiřího Adámka a Jiřího Rosického vyšla v roce 1994. Dosažitelné kategorie mají aplikace také v teorii homotopií. Grothendieck pokračoval v rozvoji teorie pro použití v teorii homotopií ve svém (stále částečně nepublikovaném) rukopise Les dérivateurs z roku 1991. Některé vlastnosti dosažitelných kategorií závisejí na použité teorii množin, obzvláště na vlastnostech kardinálů a Vopěnkově principu.

κ-usměrněné kolimity a κ-prezentovatelné objekty

Nechť $\kappa$ je nekonečný regulární ordinál, tj. kardinální číslo, které není sumou menšího počtu menších kardinálů; příklady jsou $\aleph _{0}$ (aleph-0), první nekonečné kardinální číslo, a $\aleph _{1}$, první nespočetný kardinál). Částečně uspořádaná množina $(I,\leq )$ se nazývá $\kappa$-usměrněná, pokud její každá podmnožina $J\subseteq I$ kardinality menší než $\kappa$ má v $I$ horní mez. Konkrétně, běžné usměrněné množiny jsou právě $\aleph _{0}$-usměrněné množiny.

Nyní nechť $C$ je kategorie. Přímá limita (také známá jako usměrněná kolimita) nad $\kappa$-usměrněnou množinou $(I,\leq )$ se nazývá $\kappa$-usměrněná kolimita. Objekt $X$ z $C$ se nazývá $\kappa$-prezentovatelný, pokud Hom funktor $\operatorname {Hom} (X,-)$ zachovává všechny $\kappa$-usměrněné kolimity v $C$. Je zřejmé, že každý $\kappa$-prezentovatelný objekt je také $\kappa '$-prezentovatelný pro $\kappa \leq \kappa '$, protože každá $\kappa '$-usměrněná kolimita je také $\kappa$-usměrněnou kolimitou. $\aleph _{0}$-prezentovatelný objekt se nazývá konečně prezentovatelný.

Příklady

• V kategorii Set všech množin odpovídají konečně prezentovatelné objekty konečným množinám. $\kappa$-prezentovatelné objekty jsou množiny kardinality menší než $\kappa$.
• V kategorii grup je objekt konečně prezentovatelný právě tehdy, když je konečně prezentovanou grupou, tj. pokud má prezentaci s konečným počtem generátorů a konečným počtem relací. Pro nespočetné regulární $\kappa$ jsou $\kappa$-prezentovatelné objekty právě grupy s kardinalitou menší než $\kappa$.
• V kategorii levých $R$-modulů nad některými (unitárními, asociativními) okruhy $R$, konečně prezentovatelné objekty jsou právě konečně prezentované moduly.

κ-dosažitelné a lokálně prezentovatelné kategorie

Kategorie $C$ se nazývá $\kappa$-dosažitelná právě tehdy, když:

• všechny její kolimity jsou $\kappa$-usměrněné
• $C$ obsahuje množinu $P$ $\kappa$-prezentovatelných objektů takovou, že každý objekt z $C$ je $\kappa$-usměrněnou kolimitou objektů z $P$.

$\aleph _{0}$-dosažitelná kategorie se nazývá konečně dosažitelná. Kategorie se nazývá dosažitelná, pokud je $\kappa$-dosažitelná pro nějaký nekonečný regulární kardinál $\kappa$. Když je dosažitelná kategorie také kokompletní, nazývá se lokálně prezentovatelná.

Funktor $F:C\to D$ mezi $\kappa$-dosažitelnými kategoriemi se nazývá $\kappa$-dosažitelný, pokud $F$ zachovává $\kappa$-usměrněné kolimity.

Příklady

• Kategorie Set všech množin a funkcí je lokálně konečně prezentovatelná, protože každá množina je přímou limitou svých konečných podmnožin, a konečné množiny jsou konečně prezentovatelné.
• Pro každý okruh $R$ je kategorie $R$-Mod (levých) $R$-modulů lokálně konečně prezentovatelná.
• Kategorie simpliciálních množin je konečně dosažitelná.
• Kategorie Mod(T) modelů některých teorií prvního řádu T se spočetným podpisem je $\aleph _{1}$ -dosažitelná. $\aleph _{1}$ -prezentovatelné objekty jsou modely se spočetným počtem prvků.
• Dalšími příklady lokálně prezentovatelných kategorií jsou finitární algebraické kategorie (tj. kategorie odpovídajícím varietám algeber v univerzální algebře) a Grothendieckovy kategorie.

Věty

Je možné ukázat, že každá lokálně prezentovatelné kategorie je také úplná. Navíc kategorie je lokálně prezentovatelná právě tehdy, když je ekvivalentní s kategorií modelů limitní skici.

Adjungované funktory mezi lokálně prezentovatelnými kategoriemi mají obzvláště jednoduchou charakterizaci. Funktor $F:C\to D$ mezi lokálně prezentovatelnými kategoriemi:

• je zleva adjungovaný právě tehdy, když zachovává malé kolimity,
• je zprava adjungovaný právě tehdy, když zachovává malé limity a je dosažitelný.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Accessible category na anglické Wikipedii.