Vlnky Daubechies
Daubechiesové vlnky (vlnky Daubechies) jsou rodinou ortogonálních vlnek pojmenovaných podle jejich objevitelky, belgické fyzičky a matematičky Ingrid Daubechies. Používají se při diskrétní vlnkové transformaci, nemají explicitní vyjádření a jejich konstrukce je složitá.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Wavelet_Db2.svg/220px-Wavelet_Db2.svg.png)
Rodina Daubechiesové vlnek je zajímavá tím, že vlnky mají známý počet nulových momentů. Jsou konstruovány tak, že na dané délce nosiče mají právě maximální počet nulových momentů . Důsledkem toho je tato vlnka ortogonální na polynomy až do stupně (vlnková transformace bude v odpovídajících místech nulová). Tato vlastnost činí vlnky vhodnými k použití v aplikacích potlačení resp. získání polynomiální části signálu. Další aplikací je použití vlnky jako derivátoru (parciálního diferenciálního operátoru) daného řádu pro detekci nespojitostí v signálu a jeho derivacích.
Vlnka řádu (s jedním nulovým momentem) se také nazývá Haarova vlnka.
- Vlastnosti
- asymetrické (až na )
- ortogonální, biortogonální
- délka filtrů (počet koeficientů)
- kompaktní nosič délky
- vlnky mají nulových momentů
Výpočet koeficientů
editovatKoeficienty škálovací funkce (dolní propusti při použití ortogonální banky filtrů) musejí splňovat následující podmínky.
Normalizace:
- nebo (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou )
z čehož plyne
- nebo (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou )
Ortogonalita:
- pro
Nulovost momentů (uhlazenost, podmínka dolní propusti, regulárnosti):[1]
- pro
Existuje více řešení (je ovšem třeba odlišit dolní propust od horní).
Vlnky se označují jako Dx, kde x je buď počet koeficientů ( ) nebo počet nulových momentů ( ), tedy např. D8 může být vlnka s 8 koeficienty (a čtyřmi nulovými momenty).
Příklad
editovatVýpočet vlnky se 4 koeficienty (označované jako D4) v MATLABu (místo je použito pouze značení ):
t = solve(
'h0*h0 + h1*h1 + h2*h2 + h3*h3 = 1', % normalizace
'h2*h0 + h3*h1 = 0', % ortogonalita
'+(0^0)*h0 -(1^0)*h1 +(2^0)*h2 -(3^0)*h3 = 0', % nulovost nultého
'+(0^1)*h0 -(1^1)*h1 +(2^1)*h2 -(3^1)*h3 = 0' % a prvního momentu (podmínky uhlazenosti)
);
r=length(t.h0); % počet řešení
s=[1:r]; eval( [t.h0(s) t.h1(s) t.h2(s) t.h3(s)] ) % zobrazit řešení
Řešení (pouze dolní propusti):
h0 | h1 | h2 | h3 |
---|---|---|---|
−0.129409522551260 | 0.224143868042014 | 0.836516303737808 | 0.482962913144534 |
0.482962913144534 | 0.836516303737808 | 0.224143868042014 | −0.129409522551260 |
Související články
editovat- vlnková transformace
- kvadraturně zrcadlový filtr
- Haarova vlnka – Daubechiesové vlnka s jedním nulovým momentem
- coiflety
- symlety – rodina více symetrických vlnek se stejnými vlastnosti jako mají Daubechiesové vlnky
Externí odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu Vlnky Daubechies na Wikimedia Commons
Reference
editovat- ↑ ADDISON, Paul S. The Illustrated Wavelet Transform Handbook. [s.l.]: CRC Press, 2002. 353 s. Dostupné online. ISBN 0750306920, ISBN 9780750306928. Kapitola 3.5 Daubechies wavelets, s. 104. (anglicky)
Literatura
editovat- DAUBECHIES, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Pennsylvania: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. xix, 357 s. (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics; sv. 61). Dostupné online. ISBN 0898712742. (anglicky)