Cyklometrická funkce

inverzní funkce ke goniometrické funkci

Cyklometrické funkce jsou inverzní zobrazení ke goniometrickým funkcím.

Arkus sínus a arkus kosínus
Arkus tangens a arkus kotangens
Arkus sekans a arkus kosekans

Definice

editovat

Mezi cyklometrické funkce patří:

Aby mohla k libovolné funkci existovat inverzní funkce, daná funkce musí být prostá, to znamená, že různým dvěma prvkům musí přiřazovat dvě různé hodnoty. Protože jsou ale goniometrické funkce periodické, tzn. nejsou prosté, musíme nejprve ošetřit jejich definiční obor a také definiční obory goniometrických funkcí. To znamená, že vybereme jen tu podmnožinu definičního oboru dané geometrické funkce, na které je prostá.

Definiční obory cyklometrických a goniometrických funkcí

editovat
Goniometrické funkce Cyklometrické funkce
Sinus:   pro   Arkus sinus:   pro  
Cosinus:   pro   Arkus cosinus:   pro  
Tangens:   pro   Arkus tangens:   pro  
Cotangens:   pro   Arkus cotangens:   pro  

Vztahy mezi cyklometrickými a goniometrickými funkcemi

editovat

sin a arcsin

editovat
 , pokud platí  
 , pokud platí  

cos a arccos

editovat
 , pokud platí  
 , pokud platí  

tg a arctg

editovat
 , pokud platí  
 

cotg a arccotg

editovat
 , pokud platí  
 

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi

editovat
 

Dále platí:

 

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi se vzájemně opačnými argumenty

editovat
 

Součty a rozdíly cyklometrických funkcí

editovat

arcsin x + arcsin y

editovat
 

arcsin x − arcsin y

editovat
 

arccos x + arccos y

editovat
 

arccos x − arccos y

editovat
 

arctg x + arctg y

editovat
 

arctg x − arctg y

editovat
 

arccotg x + arccotg y

editovat
 

arcsin x + arccos x

editovat
  pokud platí  

arctg x + arccotg x

editovat
 

Vyjádření cyklometrických funkcí v logaritmickém tvaru

editovat

Cyklometrické funkce se dají také vyjádřit použitím logaritmů a komplexních čísel:

 

Vztahy mezi trigonometrickými funkcemi a cyklometrickými funkcemi

editovat

Vztahy goniometrických a cyklometrických funkcí je možné jednoduše odvodit z pravoúhlého trojúhelníka ze znalosti Pythagorovy věty.

        Diagram
         
         
         
         
         
         

Vyjádření nekonečným rozvojem

editovat

Rozvoj cyklometrických funkcí lze psát jako:

 

Literatura

editovat
  • Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
  • Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání

Externí odkazy

editovat

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cyklometrická funkcia na slovenské Wikipedii.