Charakteristická rovnice

Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, které lze obecně zapsat

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0$

kde $y\,$ je závislá proměnná a $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}$ jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

Z kořenů $r^{n},r^{n-1},\ldots ,r$ charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge.

Derivace

Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}$,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{'}+a_{0}y=0$

vidíme, že pokud by se řešení rovnalo $y(x)=e^{rx}\,$, každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem $e^{rx}\,$. To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce $e^{rx}\,$ je násobkem původní funkce, čili $y'=re^{rx}\,$, $y''=r^{2}e^{rx}\,$ a $y^{(n)}=r^{n}e^{rx}\,$ jsou všechno násobky $e^{rx}\,$. To naznačuje, že určité hodnoty $r\,$ dovolují, aby součet násobků $e^{rx}\,$ dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici. Abychom zjistili hodnotu $r\,$, dosadíme funkci $y=e^{rx}\,$ a její derivace do diferenciální rovnice za $y$ a jeho derivace, čímž dostaneme

$a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0$

Protože $e^{rx}\,$ není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

Když nalezneme kořeny $r\,$ této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude $y(x)=ce^{3x}\,$, kde $c\,$ je konstanta.

Sestrojení obecného řešení

Příklad

Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty $y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0\,$ má charakteristickou rovnici $r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0\,$. Její faktorizací dostaneme $(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0\,$ z čehož vidíme, že řešeními rovnice je jeden jednoduchý kořen $r_{1}=3\,$ a dvě dvojice komplexních kořenů $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$. Z toho plyne, že diferenciální rovnice má reálné obecné řešení $y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)\,$ kde $c_{1},\ldots ,c_{5}$ jsou reálné konstanty

Naleznutí kořenů $r_{1},\ldots ,r_{n}$ charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny, $h\,$ násobnými kořeny a $k\,$ komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením $y_{D}(x)\,$, $y_{R_{1}}(x),\ldots ,y_{R_{h}}(x)$ a $y_{C_{1}}(x),\ldots ,y_{C_{k}}(x)$, pak obecné řešení diferenciální rovnice je

$y(x)=y_{D}(x)+y_{R_{1}}(x)+\cdots +y_{R_{h}}(x)+y_{C_{1}}(x)+\cdots +y_{C_{k}}(x)$

Jednoduché reálné kořeny

Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže $u_{1},\ldots ,u_{n}$ jsou $n\,$ lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace $c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}u_{n}$ je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty $c_{1},\ldots ,c_{n}$. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny $r_{1},\ldots ,r_{n}$, její obecné řešení bude mít tvar

$y_{D}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}$

Vícenásobné reálné kořeny

Jestliže charakteristická rovnice má $k\,$ násobný kořen $r_{1}\,$, pak je zřejmé, že $y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}$ je alespoň jedno její řešení. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími $k-1\,$ kořeny. Protože $r_{1}\,$ má násobnost $k\,$, diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na

$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}y=0$

Skutečnost, že $y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}$ je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar $y(x)=u(x)e^{r_{1}x}\,$, kde $u(x)\,$ je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce $ue^{r_{1}x}\,$ dává

$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ue^{r_{1}x})-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}$

pro $k=1\,$. $k\,$ násobným použitím této skutečnosti dostáváme

$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0$

což po vydělení $e^{r_{1}x}\,$ dává

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)=u^{(k)}=0$

To platí právě tehdy, když $u(x)\,$ je polynom stupně $k-1\,$, neboli $u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}$. Protože $y(x)=ue^{r_{1}x}\,$, část obecného řešení odpovídající $r_{1}$ je

$y_{R}(x)=e^{r_{1}x}(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1})$

Komplexní kořeny

Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru $r_{1}=a+bi$ a $r_{2}=a-bi$, pak obecné řešení je $y(x)=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\,$. Použitím Eulerova vzorce $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,$ můžeme toto řešení upravit:

${\begin{array}{rcl}y(x)&=&c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=&c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=&(c_{1}+c_{2})e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{array}}$

kde $c_{1}\,$ a $c_{2}\,$ jsou libovolné (i komplexní) konstanty.

Pokud použijeme konstanty $c_{1}=c_{2}={\tfrac {1}{2}}$, pak dostaneme partikulární řešení $y_{1}(x)=e^{ax}\cos bx\,$.

Pokud použijeme konstanty $c_{1}={\tfrac {1}{2}}i$ a $c_{2}=-{\tfrac {1}{2}}i$, pak dostaneme lineárně nezávislé řešení $y_{2}(x)=e^{ax}\sin bx\,$. Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů $r=a\pm bi\,$ vyjádřit vzorcem $y_{C}(x)=e^{ax}(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx)\,$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic equation (calculus) na anglické Wikipedii.

Portály: Matematika