Carnotův cyklus

Carnotův cyklus označuje vratný kruhový termodynamický děj ideálního tepelného stroje, který se skládá ze dvou izotermických a dvou adiabatických dějů. Teoreticky jej poprvé popsal francouzský fyzik Nicolas Léonard Sadi Carnot, po němž je pojmenován.

Carnotův cyklus v tepelném diagramu (teplota–entropie)

Fáze

Carnotovův cyklus se skládá ze čtyř fází. Dále budeme jako pracovní médium uvažovat ideální plyn, jehož vnitřní energie závisí pouze na teplotě. Carnotův cyklus je nicméně obecný a nevyžaduje konkrétní médium.

1. Izotermická expanze

Izotermická expanze z počátečního stavu plynu, který je dán tlakem $p_{1}$, objemem $V_{1}$ a teplotou $T_{1}$ se plyn izotermicky rozpíná. Při tomto rozpínání plyn vykoná na úkor dodaného tepla $Q_{1}$ práci $W_{12}$. Teplo $Q_{1}$ je dodáno z okolí (tzv. ohřívač). Vztah mezi prací a teplem lze zapsat ve tvaru $W_{12}=Q_{1}$.

Na konci této fáze cyklu je stav plynu popsán stavovými veličinami $p_{2}$, $V_{2}$ a $T_{1}$, pro něž platí, že $p_{2}<p_{1}$ a $V_{2}>V_{1}$.

2. Adiabatická expanze

Adiabatická expanze navazuje na izotermickou expanzi. Počáteční stav adiabatické expanze je dán stavovými veličinami $p_{2}$, $V_{2}$ a $T_{1}$, které jsou konečným stavem izotermické expanze. Při adiabatickém rozpínání nedochází k výměně tepla s okolím. Práce $W_{23}$, kterou plyn vykoná v této fázi cyklu jde na úkor vnitřní energie, tzn. $W_{23}=U_{2}-U_{3}$. Snížením vnitřní energie dojde také k poklesu teploty plynu.

Na konci této fáze cyklu je stav plynu popsán stavovými veličinami $p_{3}$, $V_{3}$ a $T_{3}$, pro něž platí, že $p_{3}<p_{2}$, $V_{3}>V_{2}$ a $T_{3}<T_{1}$.

3. Izotermická komprese

Izotermická komprese navazuje na adiabatickou expanzi. Počáteční stav izotermické komprese je dán stavovými veličinami $p_{3}$, $V_{3}$ a $T_{3}$, které jsou konečným stavem adiabatické expanze. Při izotermickém stlačování vykonáváme na plynu práci, která se odevzdává okolí ve formě tepla. Dodaná práce $W_{34}$ je rovna uvolněnému teplu, tzn. $W_{34}=-Q_{3}$.

Na konci této fáze cyklu je stav plynu popsán stavovými veličinami $p_{4}$, $V_{4}$ a $T_{3}$, pro něž platí, že $p_{4}>p_{3}$ a $V_{4}<V_{3}$.

4. Adiabatická komprese

Adiabatická komprese navazuje na izotermickou kompresi. Počáteční stav adiabatické komprese je dán stavovými veličinami $p_{4}$, $V_{4}$ a $T_{3}$, které jsou konečným stavem izotermické komprese. Při adiabatické kompresi stlačujeme plyn, který je dokonale tepelně izolován. Nedochází tedy k výměně tepla s okolím. Práce $W_{41}$, kterou dodáme plynu, je spotřebována na zvýšení vnitřní energie plynu, tzn. $W_{41}=U_{4}-U_{1}$.

Protože se jedná o uzavřený cyklus, je na konci této fáze cyklu stav plynu určen stavovými veličinami $p_{1}$, $V_{1}$ a $T_{1}$.

Práce

Celková práce $W$, kterou soustava během cyklu vykonala, je $W=W_{12}+W_{23}+W_{34}+W_{41}=Q_{1}-Q_{3}$. Práce vykonaná soustavou při libovolném cyklu je dle prvního termodynamického zákona rovna rozdílu tepla přijatého a tepla odevzdaného. V případě ideálního plynu je práce vykonaná v adiabatickém ději úměrná rozdílu teplot a platí $W_{23}+W_{41}=0$.

Pokud cyklus probíhá v popsaném pořadí, pak koná soustava práci a představuje ideální tepelný motor, v němž je část tepla dodaného ohřívačem přeměněna na mechanickou práci a část se vždy odevzdá chladiči. Při opačném chodu Carnotova cyklu dostaneme ideální chladicí stroj, který teplo odnímá chladnější lázni a přenáší je na teplejší lázeň, k čemuž je nutné vykonat na soustavě práci.

Účinnost Carnotova cyklu

Účinnost stroje je poměr výkonu a příkonu neboli poměr vykonané práce a energie dodané během jednoho cyklu. V případě Carnotova cyklu to znamená

$\eta ={\frac {W}{Q_{1}}}={\frac {Q_{1}-Q_{3}}{Q_{1}}},$

kde $W$ je celková práce, kterou soustava během cyklu vykoná, $Q_{1}$ je teplo dodané soustavě a $Q_{3}$ je teplo odevzdané. Podrobnějším výpočtem práce nebo použitím veličiny entropie lze získat jednoduchý vztah

${\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}={\frac {T_{1}}{T_{2}}},$

z něhož pro účinnost plyne

$\eta ={T_{1}-T_{2} \over T_{1}}=1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}},$

kde $T_{1}$ je termodynamická teplota ohřívače a $T_{2}$ chladiče. Účinnost vratného Carnotova cyklu tak závisí pouze na poměru termodynamických teplot, mezi nimiž tepelný stroj pracuje. Účinnost není závislá na druhu použitého plynu, konstrukci stroje atd.

V praxi

Carnotův tepelný stroj je teoretický stroj založený na Carnotově cyklu. Jde o idealizaci, kde jednotlivé děje probíhají vratně (tj. celková entropie daná součtem entropií pracujícího systému a okolí zůstává konstantní). Výměna tepla s okolím v izotermických částech cyklu proto musí probíhat v tepelné rovnováze systému s okolím (v opačném případě dochází k tepelnému toku nadarmo, což je nevratný proces). Děj tedy musí probíhat nekonečně pomalu a stroj má nulový výkon. Podle Carnotova teorému tento stroj představuje teoretický limit účinnosti reálných tepelných strojů, kterému se lze přiblížit, ale nelze ho dosáhnout (překážkou je například tření v točivých částech stroje a z něj vyplývající ztráty nebo tepelné ztráty stroje do okolí).

Realističtějším popisem přenosu tepla se zabývá endoreverzibilní termodynamika, která je založena na předpokladu, že k veškeré produkci entropie dochází na hranici systému. Dle Newtonova ochlazovacího zákona je tepelný tok úměrný rozdílu teplot mezi systémem a rozhraním ${\dot {Q}}\propto \Delta T$. Uvažme stroj, ve kterém přenos tepla zabere konečný čas a zbylé operace probíhají okamžitě. Pro účinnost takového stroje při maximálním výkonu platí Chambadalův-Novikův vztah:

$\eta =1-{\sqrt {\frac {T_{L}}{T_{H}}}}=1-{\sqrt {1-\eta _{\text{Carnot}}{\vphantom {1^{2}}}}},$

kde $T_{L}$ je teplota chladiče a $T_{H}$ je teplota ohřívače.

Carnotův cyklus a Carnotův tepelný stroj inspiroval vznik dieselového motoru, který roku 1892 postavil německý vynálezce Rudolf Diesel (teoreticky mohl dosáhnout až 73% účinnosti, reálně dosáhl 40 %, přičemž tehdejší parní stroje dosahovaly účinnosti pouze 7 %).

Tepelné elektrárny, jako nejdokonalejší tepelné stroje v praxi pracují podle Rankino–Clausiova cyklu. Účinnost zvyšují pomocí zužitkování odpadního tepla (výroba elektřiny, tepla nebo chladu), čímž se přibližují až k teoretickému maximu danému Carnotovým cyklem. Jednou z nejlepších realizací tepelné elektrárny je paroplynová elektrárna ve francouzském Bouchain, která má reálnou účinnost 62,22 % (při teplotě okolí 15 °C a teplotě páry 578,8 °C). Její teoretická účinnost (a tedy maximální dosažitelná) je přitom podle Carnotova cyklu 66,18 %.

Se stejným cyklem pracují také jaderné elektrárny. Například jaderná elektrárna Temelín má tepelnou účinnost 32 % při vstupní teplotě primárního okruhu do parogenerátoru 320 °C a maximální teplotě chladící vody 34 °C, čemuž odpovídá maximální teoretická účinnost 48 %.

Carnotova věta

Lze dokázat, že účinnost libovolného nevratného cyklu je vždy menší než účinnost vratného cyklu. To je možné provést pomocí systému dvou tepelných strojů, vratného a nevratného. Kdyby totiž účinnost nevratného tepelného stroje byla větší než účinnost vratného tepelného stroje, bylo by možné sestrojit perpetuum mobile druhého druhu (použitím části práce ke zpětnému odčerpání tepla z chladiče vratným cyklem), což druhý termodynamický zákon zakazuje. Pokud by byla účinnost obou strojů (vratného a nevratného) stejná, byl by celý výsledný cyklus vratný, což je v rozporu s předpokladem nevratnosti jednoho ze strojů. Jedinou možností tedy je, že účinnost nevratného tepelného stroje je nižší než účinnost vratného tepelného stroje, tzn.

$\eta _{nevrat}<\eta _{vrat}$

Podle předchozích vztahů tedy platí

$\eta _{nevrat}={\frac {W_{nevrat}}{Q_{nevrat}}}<{\frac {T-T_{0}}{T}},$

který říká, že práce, kterou vykoná nevratný stroj při přechodu tepla z teplejšího tělesa na těleso chladnější, nepostačuje k převedení tepla v opačném směru.

Důsledkem druhé hlavní věty termodynamiky je tzv. Carnotova věta:

Účinnost všech vratných cyklů, které pracují mezi stejnými teplotami, je stejná a závisí pouze na teplotách obou zásobníků tepla; účinnost libovolného nevratného cyklu nemůže být větší než účinnost vratného Carnotova cyklu pracujícího mezi týmiž teplotami jako nevratný cyklus.

Související články

• Účinnost
• Druhá věta termodynamická
• Nicolas Léonard Sadi Carnot

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Carnotův cyklus na Wikimedia Commons
• Příklady na Carnotův cyklus

Autoritní data	PSH: 3270 GND: 4215217-3