Betzovo pravidlo

Betzovo pravidlo zformuloval Albert Betz při studiu teorie větrem poháněných strojů. Pravidlo odvozuje, jaká maximální množství energie lze získat pomocí rotoru z média, pohybujícího se zadanou rychlostí. Pro odvození maximální účinnosti takového stroje (například větrné turbíny) lze vycházet z představy, že médium se pohybuje ve formě válce s průřezem rovným průřezu disku rotoru a výškou odpovídající rychlosti průtoku média.

Nechť v₁ je rychlost média nabíhajícího na rotor a v₂ rychlost média za rotorem. Průměrná rychlost média vzhledem k disku rotoru bude v_avg, kde

$v_{\rm {avg}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (v_{1}+v_{2})$

Jestliže je plocha disku rotoru rovna S, a ρ je hustota média, bude hmotnostní tok média diskem za jednotku času roven:

${\dot {m}}=\rho \cdot S\cdot v_{\rm {avg}}={\frac {\rho \cdot S\cdot (v_{1}+v_{2})}{2}}$

Odvedená práce bude rovna rozdílu kinetických energií média nabíhajícího na rotor a média opouštějícího rotor:

${\dot {E}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\dot {m}}\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})$

$={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot (v_{1}+v_{2})\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})$

$={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}\cdot (1-({\frac {v_{2}}{v_{1}}})^{2}+({\frac {v_{2}}{v_{1}}})-({\frac {v_{2}}{v_{1}}})^{3})$.

Na vodorovnou osu je vynesen poměr rychlostí média před a za rotorem ${\begin{matrix}{\frac {v_{2}}{v_{1}}}\end{matrix}}$, svislá osa ukazuje průběh součinitele výkonnosti C_p.

Derivací ${\dot {E}}$ podle ${\begin{matrix}{\frac {v_{2}}{v_{1}}}\end{matrix}}$ pro dané rychlosti v₁ a daný průměr disku rotoru S získáme extrém funkce${\dot {E}}$. Výsledkem je hodnota maxima ${\dot {E}}$ pro ${\begin{matrix}{\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {1}{3}}\end{matrix}}$.

Po dosazení této hodnoty je zřejmé, že:

$E_{\rm {max}}={\begin{matrix}{\frac {16}{27}}\cdot {\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}$.

Práce, kterou může odevzdat médium s rychlostí v₁ rotoru o průřezu S (tedy „válec“) bude rovna:

$E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}$.

„Součinitel výkonnosti“ C_p (= ${\begin{matrix}{\frac {E_{\rm {max}}}{E}}\end{matrix}}$) dosahuje maxima pro: C_p.max = ${\begin{matrix}{\frac {16}{27}}\end{matrix}}$ = 0,593, tedy 59,3 %

Rotory reálných zařízení (například větrných turbín) vykazují další ztráty energie, které jejich účinnost dále snižují. Moderní zařízení proto dosahují hodnot C_p v rozsahu od 0,4 do 0,5, tedy 70 až 80 % teoreticky možných.

Reference

Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.