Aritmetická posloupnost

posloupnost s konstantním rozdílem mezi po sobě jdoucími prvky

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference. Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností. Zobecněním je aritmetická posloupnost vyššího řádu (někdy též vyššího stupně), jejíž i-tý člen lze vyjádřit jako hodnotu nějakého pevného polynomu pro dané i. Řád aritmetické posloupnosti pak definujeme jako stupeň tohoto polynomu, přičemž posloupnost samých nul má řád -1.[1]

V následujících vzorcích označuje   n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

Rekurentní zadání

editovat
  • známe některý člen a jeho index:  
  • známe rekurentní vzorec vyjadřující, že sousední členy se liší o konstantu:  

Zadání vzorcem pro n-tý člen

editovat
 

Vyjádření r-tého členu z s-tého

editovat
 

Součet prvních n členů

editovat
 

Odvození vzorce pro součet prvních n členů

editovat
 
Animovaný důkaz součtu řady celých čísel 1+2+...+n.

Součet prvních   členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:

 

Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítanců:

 

Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:

 
 

Historická souvislost

editovat

Pro důkaz vzorce pro výpočet součtu aritmetické posloupnosti (viz přiložený animovaný obrázek) je možné využít příběh o mladém matematikovi K. F. Gaussovi (1777–1855). Když byl Gauss malým žáčkem, potřeboval žáčky jejich učitel zaměstnat, a tak jim zadal úkol sečíst čísla od 1 do 100. Zatímco spolužáci byli teprve na začátku výpočtu, malý žáček Gauss již hlásil výsledek (celkem 5 050). Uvědomil si totiž, že když si napíše řadu čísel 1 až 100 a nad ní stejnou řadu v obráceném pořadí, bude součet pod sebou napsaných čísel vždy 101 (první a poslední člen je  , druhý a předposlední člen je  , atd.) a těchto součtů bude celkem 100. Takže celkový součet bude  , avšak řada je v něm započtena dvakrát, takže je výsledek nutné vydělit dvěma, a proto bude součet řady  .[2]

Příklad

editovat

Například je-li   a  , pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Souvislost s aritmetickým průměrem

editovat

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

 

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Souvislost s geometrickou posloupností

editovat

Je-li posloupnost   aritmetická, tak je posloupnost   geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost   geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost   aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Aritmetická řada

editovat

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

 ,

kde kladné znaménko platí pro   anebo   a záporné pro   anebo  .

Pro   je součet

 

Reference

editovat
  1. DLAB, Vlastimil. Aritmetické posloupnosti vyšších řádů [online]. MFF UK [cit. 2015-03-17]. Dostupné online. 
  2. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 2. vyd. Prah: Prometheus, 2002. 126 s. ISBN 80-7196-195-7. S. 40–42. 

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat