Subdeterminant

(přesměrováno z Algebraický doplněk)

V lineární algebře je subdeterminant nebo též minor matice determinantem podmatice, která byla z matice získána odstraněním některých řádků a sloupců. Počet řádků podmatice je řádem subdeterminantu. Subdeterminanty získané odstraněním právě jednoho řádku a jednoho sloupce ze čtvercové matice umožňují redukovat řád determinantu pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce. Prostřednictvím adjungované matice také souvisejí s inverzní maticí.

Subdeterminanty matice: zeleně je vyznačena podmatice odpovídající (druhému) minoru řádu 3 a hodnoty 16, žlutě podmatice k hlavnímu minoru řádu 2 hodnoty -7 a purpurově podmatice k vedoucímu hlavnímu minoru hodnoty 4.

Definice

editovat

Pro matici   typu   a   se subdeterminantem nebo minorem řádu  , nazývá determinant čtvercové matice řádu   získané z matice   odebráním   řádků a   sloupců. Někdy se používá slovo „stupeň“ pro „řád“ subdeterminantu či minoru. Termín „minor“ se také nesprávně používá k označení čtvercové matice řádu   získané uvedeným způsobem, ale tato matice by měla být označována jako (čtvercová) podmatice matice  , přičemž výraz „minor“ by měl být užíván pouze pro determinant této matice.

Matice   typu   má celkem   subdeterminantů řádu  . Subdeterminant řádu nula je definován jako 1.

Operace odebrání formálně spočívá ve výběru posloupnosti indexů řádků   a posloupnosti indexů sloupců  . Tyto vybrané množiny indexů   a   se použijí k výpočtu determinantu podmatice  , čili výrazu:

 

Je-li   čtvercová matice řádu  , potom její první minor je každý subdeterminant řádu  , a jako takový vzniká odebráním jednoho řádku a sloupce. Podobně pro druhé a další minory. Za nultý minor čtvercové matice lze považovat její determinant.

První minor, který je determinantem podmatice vytvořené z čtvercové matice   odstraněním  -tého řádku a  -tého sloupce se nazývá subdeterminant (minor) příslušný k prvku   matice  .

Pokud  , čili pokud z matice bylo ponecháno   řádků a sloupců se stejnými indexy, nazývá se odpovídající subdeterminant hlavním minorem stupně   (platí i pro obdélníkové matice). Hlavní minor stupně  , vzniklý odebráním posledních   řádků a   sloupců, neboli daný množinami   se nazývá vedoucí hlavní minor řádu  . U čtvercových matic řádu   se nazývá též  -tý vedoucí (hlavní) minor.

Někdy jsou vedoucí hlavní minory nazývány hlavními minory, zatímco první zmíněné nejsou nijak zvlášť pojmenovány.

Ukázka

editovat

U reálné matice

 

typu   vznikne odebráním druhého řádku a také druhého a třetího sloupce, neboli ponecháním prvků s řádkovými indexy z množiny   a sloupcovými indexy z množiny   subdeterminant hodnoty:

 

Tento minor není hlavní, protože  . Hlavní minor matice   je například subdeterminant

 

odvozený z množin  .

Vedoucí hlavní minory matice   jsou:

řádu 1:   řádu 2:   řádu 3:  

Subdeterminant příslušný k prvku   reálné čtvercové matice

 

je roven:

 

Použití subdeterminantů

editovat

Algebraický doplněk

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Adjungovaná matice.

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem prvku   čtvercové matice   nazýváme číslo

 

kde   je subdeterminant příslušný k prvku   matice  . Transponovaná matice z algebraických doplňků se nazývá adjungovaná matice. Adjungovaná matice k regulární matici je  -násobkem její inverzní matice.

Laplaceův rozvoj determinantu

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Determinant.

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu. Pro libovolný (pevně daný) řádkový index   lze determinant matice   řádu   vyjádřit pomocí součtu součinů všech prvků tohoto řádku a jejich algebraických doplňků:

 .

Tento vzorec se nazývá (Laplaceův) rozvoj (rozklad) determinantu podle  -tého řádku. Vzhledem k tomu, že se determinant nezmění transpozicí matice, lze jej vyjádřit teké rozvojem (rozkladem) podle  -tého sloupce:

 .

Pomocí těchto vzorců lze výpočet determinantu převést na výpočet několika subdeterminantů, jejichž řád je o jedna menší. Opakováním tohoto procesu lze dospět až k subdeterminantům prvního řádu, jejichž hodnota je odpovídá jednotlivým prvkům matice. Uvedený postup vede na rekurentní algoritmus pro výpočet determinantu. Navzdory jednoduché implementaci roste jeho výpočetní složitost exponenciálně rychle s řádem determinantu, proto je vhodnější determínant počítat např. Gaussovou eliminační metodou.

Rozvoj determinantu je možné zobecnit[1] i na rozvoj podle víceprvkové množiny vybraných řádků s využitím všech možných subdeterminantů sestavených z těchto řádků.

Další aplikace

editovat

Každá reálná matice typu   hodnosti   (platí i pro matice nad libovolným tělesem) má alespoň jeden nenulový subdeterminant řádu  , zatímco všechny subdeterminanty řádu alespoň   jsou nulové.

U hermitovských matic mohou být vedoucí hlavní minory použity k testu pozitivní definitnosti podle Sylvesterova kritéria a hlavní minory mohou být podobně použity k testu pozitivní semidefinitnosti.

Jak vzorec pro obyčejný součin matic, tak i Cauchyho–Binetův vzorec pro determinant součinu matic jsou speciálními případy následujícího obecného tvrzení o subdeterminantech součinu matic. Jsou-li matice   typu  , matice   typu   a jsou-li   a   dvě  -prvkové podmnožiny množin  a  , potom platí:

 ,

kde součet prochází přes všechny  -prvkové podmnožiny   množiny  . Uvedený vztah je přímým rozšířením Cauchyho–Binetova vzorce.

Reference

editovat

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Minor (linear algebra) na anglické Wikipedii, Minor (Lineare Algebra) na německé Wikipedii a Minor na polské Wikipedii.

  1. HORÁK, Pavel; JANYŠKA, Josef. Lineární algebra [online]. Masarykova Univerzita [cit. 2022-06-04]. S. 34. Dostupné online. 

Literatura

editovat
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

editovat