Afinní obal

Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu k afinním kombinacím.

Definice

Mějme $\scriptstyle V$ vektorový prostor a $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ sadu vektorů z $\scriptstyle V$ . Množinu všech afinních kombinací této sady vektorů nazýváme afinní obal vektorů $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ (angl. affine span či affine hull). Někdy se afinní obal zmíněných vektorů značí jako $\scriptstyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\alpha }$ či $\scriptstyle \mathrm {aff} ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})$ . V matematické symbolice tedy

\mathrm {aff} ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})\equiv \left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in {\hat {n}})(\alpha _{i}\in T)\wedge \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\right\},

kde $\scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}$

Vlastnosti

Některá tvrzení platná pro lineární obaly a podprostory vektorového prostoru jsou v platnosti i pro afinní obaly, zaměníme-li vektorový podprostor lineární varietou. V následujícím se budeme pohybovat ve vektorovém prostoru $\scriptstyle V$ nad tělesem $\scriptstyle T$ .

Afinní obal jako lineární varieta

Afinní obal je lineární varieta v daném vektorovém prostoru.

Důkaz: Doplnit...

Afinní obal vektorů $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ je nejmenší (ve smyslu inkluze) lineární varieta ve vektorového prostoru $\scriptstyle V$ , která obsahuje $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ . Neboli, afinní obal vektorů $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ je roven průniku všech lineárních variet $\scriptstyle W$ vektorového prostoru $\scriptstyle V$ , které obsahují tyto vektory. Matematicky zapsáno

{\text{aff}}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n})=\bigcap _{W\ {\text{je lin. varieta ve}}\ V,\ \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset W}W

Důkaz: Doplnit...

Ostatní

Afinní kombinace vektorů obsahuje všechny tyto vektory, neboli

(\forall n\in \mathbb {N} )(\forall i\in {\hat {n}})({\vec {x}}_{i}\in {\text{aff}}({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}))

Důkaz: Zřejmý, pro dané

\scriptstyle {\vec {x}}_{i_{0}}

položíme v sumě

\scriptstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}

koeficient

\scriptstyle \alpha _{i_{0}}=1

a všechny ostatní nulové.

Geometrická interpretace

Podobně jako lineární obaly, i afinní obaly mají názornou geometrickou interpretaci. Přinejmenším uvažujeme-li vektorové prostory aritmetických vektorů, tj. uspořádaných n-tic reálných (potažmo komplexních) čísel. Pro jednoduchost vezměme trojrozměrný prostor $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ nad reálným tělesem. Jeho prvky jsou tedy uspořádané trojice reálných čísel s operacemi definovanými následujícím způsobem

\alpha {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\quad +\quad {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\quad =\quad {\begin{pmatrix}\alpha x_{1}+y_{1}\\\alpha x_{2}+y_{2}\\\alpha x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}.

Prvky tohoto prostoru si tedy lze představovat ve "fyzikálním smyslu", tj. jako šipky vedoucí z počátku soustavy souřadnic. Sčítání vektorů ve smyslu vyznačeném výše odpovídá skládání šipek. Budeme-li brát po řadě jedno-, dvou- a tříprvkové množiny vektorů, jejich afinní obaly lze interpretovat takto:

Afinní obal jediného vektoru je pouze tento vektor sám. Pro porovnání, lineární obal jednoho vektoru je roven vektoru samotnému jenom v jediném případě a to když je tento vektor nulový.
Máme-li dva (navzájem různé) vektory $\scriptstyle {\vec {x}}_{1}$ a $\scriptstyle {\vec {x}}_{2}$ z $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ , tak jejich obecná afinní kombinace vypadá jako

\alpha {\vec {x}}_{1}+(1-\alpha ){\vec {x}}_{2},

kde $\scriptstyle \alpha \in \mathbb {R}$ . Vektory $\scriptstyle {\vec {x}}_{1}$ a $\scriptstyle {\vec {x}}_{2}$ jsou představovány dvěma body a na jejich afinní kombinaci můžeme nazírat jako na přímku procházející těmito dvěma body. Afinní obal dvou vektorů v $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ je tedy přímka procházející těmito vektory. Rozdíl oproti lineárnímu obalu je v tom, že zatímco lineární obal jednoho nenulového vektoru je přímka procházejí počátkem a tímto vektorem, afinní obal jednoho vektoru je pouze tento vektor sám. Abychom dostali přímku, potřebujeme u afinních obalů vektory dva, oproti lineárnímu obalu ale tato přímka již nemusí procházet počátkem.

Afinní obal tří (lineárně nezávislých) vektorů je rovina procházející těmito třemi vektory alias body. Pro lineární obal tří lineárně nezávislých vektorů bychom dostali celý prostor $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ .

Z předchozí diskuze je tedy patrné, že geometrický objekt coby afinní obal daného počtu vektorů má o jednu dimenzi méně, než geometrický objekt vzniklý z těchže vektorů pomocí lineárního obalu.

Související pojmy

Mějme množinu vektorů $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ z vektorového prostoru $\scriptstyle V$ . V oddíle Geometrická interpretace jsme viděli, že na afinní obaly vektorů lze nazírat jako na geometrické objekty o dané dimenzi, která je o jedničku nižší než odpovídající geometrický objekt vzniklý z týchž vektorů pomocí lineárního obalu. Dimenzi afinního obalu zmíněných vektorů říkáme afinní hodnost souboru $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ .

Podobně jako v případě lineárních kombinací, kdy lze definovat lineární nezávislost, můžeme i v případě afinních kombinací definovat afinní (ne)závislost. Řekneme, že soubor $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ je afinně nezávislý, právě když je jeho afinní hodnost rovna číslu $\scriptstyle n-1.$ Pokud je jeho afinní hodnost ostře menší než $\scriptstyle n-1$ , tak říkáme, že je afinně závislý. Označíme-li afinní hodnost souboru vektorů jako $\scriptstyle {\text{h}}_{\alpha }({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})$ , pak můžeme psát, že soubor vektorů je afinně nezávislý, právě když

{\text{h}}_{\alpha }({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})=n-1

a afinně závislý, právě když

{\text{h}}_{\alpha }({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})<n-1.

Z definice je ihned patrné, že množina obsahující pouze jediný vektor je vždy afinně nezávislá.

Protože se častěji pracuje s lineární nezávislostí, je užitečné najít vztah této a afinní nezávislosti. K tomu se hodí následující tvrzení: Mějme soubor vektorů $\scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}$ z vektorového prostoru $\scriptstyle V$ pro $\scriptstyle n\geq 2$ . Dále nechť $\scriptstyle i_{0}\in {\hat {n}}$ je libovolně, ale pevně, zvolený index. Pak platí

\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\quad {\text{je afinně nezávislý}}\quad \Leftrightarrow \quad \{{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{i_{0}},\ldots ,{\vec {x}}_{i_{0}-1}-{\vec {x}}_{i_{0}},{\vec {x}}_{i_{0}+1}-{\vec {x}}_{i_{0}},\ldots ,{\vec {x}}_{n}-{\vec {x}}_{i_{0}}\}\quad {\text{je lineárně nezávislý}}.

Literatura

PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8. – skripta FJFI ČVUT