Rozdělení chí kvadrát

Rozdělení chí kvadrát čili rozdělení $\chi ^{2}$ (jinak také Pearsonovo rozdělení) s $n$ stupni volnosti je spojité rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice. Velký význam má pro určování, zda množina dat vyhovuje dané distribuční funkci.

Graf hustoty pravděpodobnosti rozdělení chí kvadrát pro různý počet stupňů volnosti

Rozdělení $\chi ^{2}$ o $n$ stupních volnosti, které se označuje $\chi ^{2}(n)$, je rozdělení náhodné veličiny $X=\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}$, kde $U_{i}$ je $n$ vzájemně nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením $\operatorname {N} (0,1)$.

Rozdělení $\chi ^{2}(n)$ má hustotu pravděpodobnosti

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pro }}x\leq 0\\{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)2^{\frac {n}{2}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{2}}}x^{{\frac {n}{2}}-1}&{\mbox{ pro }}x>0\end{matrix}}\right.$

Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota rozdělení $\chi ^{2}(n)$ je

$\operatorname {E} (X)=n$

Rozdělení $\chi ^{2}(n)$ má rozptyl

$\sigma ^{2}(X)=2n$

Momentová vytvořující funkce pro rozdělení $\chi ^{2}(n)$ má tvar

$m_{X}(t)={(1-2t)}^{-{\frac {n}{2}}}$

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

stupňů volnosti	q0,95	q0,99
1	3,84	6,63
2	5,99	9,21
3	7,81	11,34
4	9,49	13,28
5	11,07	15,09
10	18,31	23,21
15	25,00	30,58
20	31,41	37,57
30	43,77	50,89
40	55,76	63,69
50	67,50	76,15
N velké (>100)	$N+1,65{\sqrt {2N}}$	$N+2,33{\sqrt {2N}}$

Poznámka: 95% kvantil odpovídá kritické hodnotě pro 5% hladinu významnosti, 99% kvantil kritické hodnotě pro 1% hladinu významnosti.

Vlastnosti

Rozdělení $\chi ^{2}(n)$ se s rostoucím $n$ blíží k normálnímu rozdělení se střední hodnotou $n$ a rozptylem $2n$.

Související články

• Chí-kvadrát test
• Rozdělení pravděpodobnosti
• Normální rozdělení

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Χ² rozdělení na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4448035-0